Mavzu: Tekislikda joylashgan kuchlar tizimining muvozanati Reja

Mavzu: Analitik mexanika.

Yilda nazariy fizika va matematik fizika, analitik mexanika, yoki nazariy mexanika ning bir-biri bilan chambarchas bog'liq bo'lgan muqobil formulalarining to'plamidir klassik mexanika. U 18-asrda va undan keyin ko'plab olimlar va matematiklar tomonidan ishlab chiqilgan Nyuton mexanikasi. Nyuton mexanikasi o'ylaydi vektor harakat miqdori, xususan tezlashtirish, momenta, kuchlar, tizim tarkibiy qismlaridan, boshqariladigan mexanikaning muqobil nomi Nyuton qonunlari va Eyler qonunlari bu vektor mexanikasi.

Aksincha, analitik mexanika foydalanadi skalar butun tizimni aks ettiruvchi harakatning xususiyatlari - odatda uning jami kinetik energiya va potentsial energiya - alohida zarralarning Nyutonning vektor kuchlari emas.^[1] Skalyar - bu miqdor, vektor esa miqdor va yo'nalish bilan ifodalanadi. The harakat tenglamalari skalar miqdoridan skalerlar haqidagi ba'zi bir asosiy printsip asosida olinadi o'zgaruvchanlik.
Analitik mexanika tizimnikidan foydalanadi cheklovlar muammolarni hal qilish. Cheklovlar erkinlik darajasi tizim bo'lishi mumkin va harakatni hal qilish uchun zarur bo'lgan koordinatalar sonini kamaytirish uchun ishlatilishi mumkin. Rasmiylik koordinatalarni o'zboshimchalik bilan tanlashga juda mos keladi, bu erda ma'lum umumlashtirilgan koordinatalar. Tizimning kinetik va potentsial energiyalari ushbu umumlashtirilgan koordinatalar yoki momentlar yordamida ifodalanadi va harakat tenglamalari osongina o'rnatilishi mumkin, shu sababli analitik mexanika ko'plab mexanik masalalarni to'liq vektorli usullarga qaraganda katta samaradorlik bilan echishga imkon beradi. Bu har doim ham bo'lmaganlar uchun ishlamaydikonservativ kuchlar yoki shunga o'xshash dissipativ kuchlar ishqalanish, bu holda Nyuton mexanikasiga qaytish mumkin.
Analitik mexanikaning ikkita dominant tarmog'i Lagranj mexanikasi (umumiy koordinatalar va tegishli umumiy tezliklardan foydalanib konfiguratsiya maydoni ) va Hamilton mexanikasi (koordinatalar va tegishli momentlardan foydalanib fazaviy bo'shliq ). Ikkala formulalar ham a ga teng Legendre transformatsiyasi umumlashtirilgan koordinatalar, tezlik va momentlar bo'yicha, shuning uchun ikkalasi ham tizim dinamikasini tavsiflash uchun bir xil ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Kabi boshqa formulalar mavjud Gemilton-Jakobi nazariyasi, Routhian mexanikasi va Appellning harakat tenglamasi. Zarralar va maydonlar uchun barcha harakat tenglamalari har qanday rasmiyatchilikda keng qo'llaniladigan natijadan kelib chiqishi mumkin eng kam harakat tamoyili. Bir natija Noether teoremasi, bog'laydigan bayonot tabiatni muhofaza qilish qonunlari ular bilan bog'liq simmetriya.
Analitik mexanika yangi fizikani kiritmaydi va Nyuton mexanikasidan ko'ra umumiyroq emas. Aksincha, bu keng qo'llaniladigan ekvivalent formalizmlarning to'plamidir. Aslida bir xil printsiplar va rasmiyatchiliklardan foydalanish mumkin relyativistik mexanika va umumiy nisbiylik va ba'zi o'zgartirishlar bilan, kvant mexanikasi va kvant maydon nazariyasi.
Analitik mexanika fundamental fizikadan tortib to keng qo'llaniladi amaliy matematika, ayniqsa betartiblik nazariyasi.
Analitik mexanika usullari diskret zarrachalarga taalluqlidir, ularning har biri cheklangan erkinlik darajalariga ega. Ular cheksiz erkinlik darajasiga ega bo'lgan doimiy maydonlarni yoki suyuqliklarni tavsiflash uchun o'zgartirilishi mumkin. Ta'riflar va tenglamalar mexanikaga o'xshash o'xshashlikka ega.
Analitik mexanika predmeti
Mexanik nazariyaning eng aniq maqsadi fizika yoki astronomiyada paydo bo'ladigan mexanik muammolarni hal qilishdir. Jismoniy tushunchadan boshlab, masalan, mexanizm yoki yulduzlar tizimi, matematik tushuncha yoki model, differentsial tenglama yoki tenglamalar shaklida ishlab chiqiladi va keyin ularni echishga harakat qilinadi.
Nyuton tomonidan asos solingan mexanikaga vektorli yondoshish Nyuton qonunlariga asoslangan bo'lib, ular yordamida harakatni tavsiflaydi. vektor kabi miqdorlar kuch, tezlik, tezlashtirish. Ushbu miqdorlar harakat sifatida idealizatsiya qilingan tananing "ommaviy nuqta" yoki "zarracha "massa biriktirilgan bitta nuqta sifatida tushuniladi. Nyuton usuli muvaffaqiyatli bo'lib, zarrachaning harakatidan tortib, fizikaviy muammolarning keng doirasiga tatbiq etildi. tortishish maydoni ning Yer Quyosh ta'sirida sayyoralar harakatiga qadar kengaytirildi. Ushbu yondashuvda Nyuton qonunlari harakatni differentsial tenglama bilan tavsiflaydi, so'ngra muammo shu tenglamani echishga qadar kamayadi.
Zarrachalar zarralar tizimining bir qismi bo'lganda, masalan, a qattiq tanasi yoki a suyuqlik, zarralar erkin harakat qilmasa-da, bir-biri bilan ta'sir o'tkazsa, Nyutonning yondashuvi har qanday zarrachani boshqalaridan ajratish va unga ta'sir etuvchi barcha kuchlarni aniqlash kabi to'g'ri choralar ostida hanuzgacha amal qiladi: umuman tizimda harakat qilayotganlar shuningdek, har bir zarrachaning tizimdagi barcha boshqa zarralar bilan o'zaro ta'sir kuchlari. Bunday tahlil nisbatan sodda tizimlarda ham noqulay bo'lishi mumkin. Qoida tariqasida o'zaro ta'sir kuchlari noma'lum yoki yangi postulatlarning kiritilishi zarurligini aniqlash qiyin. Nyuton shunday deb o'yladi uning uchinchi qonuni "harakat reaktsiyaga teng" barcha asoratlarni hal qiladi. Bunday oddiy tizim uchun ham bunday emas aylanishlar qattiq tananing. Keyinchalik murakkab tizimlarda vektorli yondashuv etarli darajada tavsif bera olmaydi.
Harakat muammosiga analitik yondoshish zarrachani ajratilgan birlik sifatida emas, balki a qismi sifatida ko'rib chiqadi mexanik tizim bir-biri bilan ta'sir o'tkazadigan zarrachalar yig'indisi sifatida tushuniladi. Butun tizim hisobga olinsa, bitta zarracha o'z ahamiyatini yo'qotadi; dinamik muammo butun tizimni qismlarga ajratmasdan o'z ichiga oladi. Bu hisoblashni sezilarli darajada soddalashtiradi, chunki vektorli yondashuvda kuchlar har bir zarracha uchun alohida belgilanishi kerak, analitik yondashuvda esa tizimda va ta'sir ko'rsatadigan barcha kuchlarni o'z ichiga olgan bitta funktsiyani bilish kifoya. Bunday soddalashtirish ko'pincha apriori ko'rsatilgan ba'zi kinematik shartlar yordamida amalga oshiriladi; ular ilgari mavjud bo'lib, ba'zi kuchli kuchlarning ta'siriga bog'liqdir. Shu bilan birga, analitik davolash ushbu kuchlarni bilishni talab qilmaydi va ushbu kinematik shartlarni oddiy hol deb qabul qiladi. Ushbu shartlar ularni ushlab turuvchi kuchlarning ko'pligi bilan taqqoslaganda qanchalik sodda ekanligini hisobga olsak, analitik yondashuvning vektorga nisbatan ustunligi aniq bo'ladi.
Shunga qaramay, murakkab mexanik tizimning harakatlari tenglamalari juda ko'p alohida differentsial tenglamalarni talab qiladi, ular kelib chiqadigan birlashtiruvchi asoslarsiz olinmaydi. Bu asos variatsion tamoyillar: har bir tenglama to'plamining orqasida butun to'plamning ma'nosini ifodalovchi printsip mavjud. Nomlangan asosiy va universal miqdor berilgan "harakat", boshqa bir mexanik miqdorning ozgina o'zgarishi ostida bu harakatning harakatsiz bo'lishi printsipi zarur bo'lgan differentsial tenglamalar to'plamini hosil qiladi. Printsipning bayonoti hech qanday maxsus narsani talab qilmaydi koordinatalar tizimi va barcha natijalar quyidagicha ifodalanadi umumlashtirilgan koordinatalar. Demak, harakatning analitik tenglamalari a ga nisbatan o'zgarmaydi koordinatali transformatsiya, an invariantlik harakatning vektorli tenglamalarida etishmaydigan xususiyat.^[2]
Differentsial tenglamalar to'plamini "echish" nimani anglatishi umuman aniq emas. Zarralar vaqt koordinatasida bo'lganda muammo hal qilindi deb hisoblanadi t ning oddiy funktsiyalari sifatida ifodalanadi t va boshlang'ich pozitsiyalari va tezligini belgilaydigan parametrlar. Biroq, "oddiy funktsiya" a emas aniq belgilangan tushunchasi: hozirgi kunda, a funktsiya f(t) rasmiy ifoda sifatida qaralmaydi t (elementar funktsiya ) Nyuton davridagi kabi, lekin odatda aniqlangan miqdor sifatida t, va "oddiy" va "oddiy emas" funktsiyalar o'rtasida keskin chiziq chizish mumkin emas. Agar kimdir faqat "funktsiyalar" haqida gapiradigan bo'lsa, unda har qanday mexanik muammo differentsial tenglamalarda yaxshi ifoda etilgan zahoti hal qilinadi, chunki boshlang'ich shartlarni hisobga olgan holda va t koordinatalarini aniqlang t. Bu, ayniqsa hozirgi paytda zamonaviy usullar bilan haqiqatdir kompyuterni modellashtirish mexanik muammolarning arifmetik echimlarini istalgan aniqlik darajasiga etkazadigan, differentsial tenglamalar bilan almashtirilmoqda farq tenglamalari.
Shunga qaramay, aniq ta'riflarga ega bo'lmasada, bu aniq ikki tanadagi muammo oddiy echimga ega, ammo uch tanadagi muammo yo'q. Ikki tanali muammo parametrlarni o'z ichiga olgan formulalar bilan hal qilinadi; barcha echimlar sinfini o'rganish uchun ularning qiymatlarini o'zgartirish mumkin, ya'ni matematik tuzilish muammoning. Bundan tashqari, ikkita jismning harakati uchun aniq aqliy yoki chizilgan rasm tuzilishi mumkin va u harakat qilayotgan va o'zaro ta'sir qiladigan haqiqiy jismlar singari haqiqiy va aniq bo'lishi mumkin. Uch tanali masalada parametrlarga ma'lum qiymatlar ham berilishi mumkin; ammo ushbu berilgan qiymatlar bo'yicha echim yoki bunday echimlar to'plami masalaning matematik tuzilishini ochib bermaydi. Ko'pgina boshqa masalalarda bo'lgani kabi, matematik tuzilmani ham faqat differentsial tenglamalarni o'rganish orqali tushuntirish mumkin.
Analitik mexanika bundan ham ko'proq maqsadga qaratilgan: bitta mexanik masalaning matematik tuzilishini emas, balki juda ko'p sonli mexanikani qamrab oladigan darajadagi muammolar sinfini tushunishga. Lagrangian yoki Gamilton harakati tenglamalari qo'llaniladigan va haqiqatan ham juda keng doiradagi muammolarni o'z ichiga olgan tizimlarga e'tiborni qaratadi.^[3]
Analitik mexanikani rivojlantirish ikkita maqsadni o'z ichiga oladi: (i) keng qo'llaniladigan standart metodlarni ishlab chiqish bilan echiladigan masalalar doirasini ko'paytirish va (ii) mexanikaning matematik tuzilishini tushunish. Biroq, uzoq muddatda (ii) (i) usullari ishlab chiqilgan aniq muammolar bo'yicha kontsentratsiyadan ko'proq yordam berishi mumkin.