Microsoft Word Funksiya limit doc

\

/

1

. ^{6 —} 4 , ^V n^{4 J}

1

¹ + “3 n

n

n

6n⁴ — 1

lim

= lim

= lim

= x.

3 — ¹¹¹¹¹ f

n^x n + 4 n^x 3

n

n^x

2ⁿ — 1

2

V 3J

1

V 3J

4. lim

= lim

= 0.

3ⁿ

n^x

n^x

2. Monoton kema-ketlikning yaqinlashish alomatlari.

Teorema. Agar {a_n} ketma-ketlik o’suvchi bo’lib, yuqoridan

chegaralangan bo’lsa, ketma-ketlik chekli limitga ega bo’ladi.

Teorema. Agar {a_n} ketma-ketlik kamayuvchi bo’lib, quyidan

chegaralangan bo’lsa, ketma-ketlik chekli limitga ega bo’ladi. e soni. Ushbu ketma-ketlikni qaraylik:

( 1 ^<sup>n

a</sup>n = ¹ + - > ⁿ = ^{1,2 L} > (1)

V n J

Bu ketma-ketlikning o’suvchi va ko’rsatamiz.

Nyuton binomi formulasidan foydalansak,

chegaralangan ekanligini

1

^an =

2

n

n

n(n — 1)(n — 2) ••• (n — k — 1) 1

n(n — 1) -”1 1

+

+ ••• +

k!

n!

k—1

n

n

1

1

1

1

2

1 +1 +

1 —

1 —

1—

1—

+ ••• + ■

+ ••• +

k!

2!

n

n

n

n

у

с

1

+ — n!

₁ n —1

1 — -

(2)

n

n

V

V

J

O’ng tomonda joylashgan ifodadan ko’rinib turibdiki, n -haddan n +1 - hadga o’tganimizda har biri musbat bo’lgan qo’shiluvchilar soni birga oshadi va har bir qo’shiluvchi (uchinchisidan boshlab) ham oshib boradi, chunki qavs ichida joylashgan ifoda kattalashib boradi. Haqiqatan,

j
J

n + 1
= 1,2, l , n -1, n = 2,3

Bu esa (1) ketma-ketlikning qat’iy o’suvchi ekanligini bildiradi:

^an < ^an+^

Quyidagi

j

1. 
   -
   (4)
   -< 1, j = 1,2,l,n-1, n = 2,3, l,
   

n

v

a

n
I < ¹

(5)
= 1,2, L,

n! 2^n-1

tengsizliklardan n > 1 bo’lganda (2) dan

2. 
   1 1 1 ₂ 1 1 1
   

a < 2 + 1 + • • • — < 2 + 1—— + •• • + — <

ⁿ 2! 3! n! 2 2² 2^n-1

“ 1 1

< 1 + X -^L = 1 + -^ = 3

n=1 ²

n

kelib chiqadi. Shunday qilib,

^an < ³. (6)

ya’ni (1) ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan. (3) va (6) tengsizliklardan teoremaga ko’ra ^an ketma-ketlik chekli limitga ega. Bu limitni e soni deyiladi. Demak, ta’rif bo’yicha

г л»

1
lim

1. 
   +
   (7)
   -
   

= e

n^-<»v nJ

e irratsional son bo’lib uning qiymati taqriban e« 2,718281828 ga tengdir.

1. 
   Ketma-ketlikning ijtimoiy hayotda ishlatilishi.
   

Bu erda biz bankka qo’yilgan mablag’ning qancha miqdorda qo’shilish jarayoniga to’xtalamiz. Bankka qo’yilgan mablag’ ko’payishining bir necha turlari bor.

1. 
   Oddiy foiz turi. Bankka qo’yilgan birinchi mablag’ P bo’lsin. Agar qo’shish oddiy foizli bo’lib, bank har yili r % dan qo’shsa, bank bir xil
   

r

summa: — P ni qo’shib boradi.

r

Bir yildan so’ng bankdagi mablag’ Q1 = P + P ga teng bo’ladi. Ikk

i
г

2r

1 + v 100;

P

r 2r

yildan so’ng esa, bankda Q2 = Q +—P = P + P miqdorda mablag’ jamg’ariladi va x.k. t yildan so’ng esa

rt 1 + — v 100;

(8)

ko’rinishda bo’ladi.

2) Murakkab foiz turi. Praktikada ko’pincha bankka qo’yilgan mablag’ murakkab foiz turi bo’yicha amalga oshiriladi. Bu turdagi hisoblashda

\

r

1 +

v 100;

' r ^

1 +

v 100;

bankka qo’yilgan mablag’ har yili oxiridagi mablag’ miqdori Q₁ = P

dan ortib boradi. Birinchi yil ga teng bo’ladi. Ikkinchi yil

oxirida esa, mablag’ Q₂ = Q + —Q ga teng bo’ladi, ya’ni

2

^Q2 = ^Q11 ¹ +

= P| 1 +

100; v 100;

bo’ladi. t yildan so’ng esa, bankka qo’yilgan mablag’ miqdori

t

с

\

Q_t = p

1 + — v 100;

(9)

3. 
   Foizi yilda bir necha marta hisoblanadigan, murakkab jamg’arma turlari. Ba’zan foizni bir yilda bir marotaba emas, balki bir nech marta qayta hisoblanadi. Aytaylik, bir yilda m marta hisoblansin, unda yilning
   

1/ m qismiga r / m% . Yangi yil boshidagi P miqdordagi mablag’ yilning

1/m qismida P(1 + r/(100• m)) ga teng bo’ladi, yilning 2/m qismida esa

P (1 + r /(100 • m))² ga teng bo’ladi va yil oxirida esa, mablag’ miqdori

Q = P(1 + r/(100• m))^m ga teng bo’ladi. Ikkinchi yilning 1/ m qismida esa,

P(1 + r /(100 • m))^m+¹ bo’ladi; ikkinchi yilning 2/m qismida esa

P(1 + r /(100 • m)) ^m+² bo’ladi va x.k. Ikkinchi yil oxirida esa,

Q₂ = P(1 + r /(100 • m))^2m bo’ladi. Demak, t yildan so’ng mablag’ miqdori quyidagi formula orqali aniqlanadi:

Q_t = P(1 + r /(100 • m))^mt (10)

3. 
   Foizni uzluksiz hisoblash. Har yili bo’ladigan hisoblash ko’lami- m ni oshiraylik. Ya’ni hisoblash har oyda (m = 12) har kunda (m = 256), har soatda, har minutda va x.k., uzluksiz m ^ x bo’lsa,
   

mt

r

Q_t = lim P

1 +

100 • m;

m^x V

rt/100

100m/r