Microsoft Word Funksiya limit doc

\

r

rt/100

P • lim

m^x

1 +

v 100• m;

Pe


Demak, foiz uzluksiz hisoblanganda t yildan keyin bankka P miqdorda qo’yilgan mablag’ning miqdori

Qt = P e^rt/100 (11)

formula yordamida aniqlanadi.

Misollar.

1. 
   . Har yili hisob qilinadigan 8% bankka $5000 qo’yildi. 3 yildan so’ng qo’yilgan mablag’ qancha bo’ladi? P=5000, r=8, t=3, bo’lgani uchun (9) formuladan
   

Q₃ = 5000 • (1 + 0,08)³ = 5000 • 1,08³ = 5000 • 1,259712 = 5298,56

2. 
   . 6% li daromad beradigan bankka $1000 qo’yilgan. Bank hisoblashni yilning har choragida amalga oshirsa, yil oxirida qo’yilgan mablag’ miqdori qancha bo’ladi? P=1000, r=6, m=4 va t=1 qiymatlarni (10) formulaga qo’yamiz:
   

Q = 1000(1 + 0,06/ 4)⁴ = 1000 • (1,015)⁴ = 1000 • 1,06136 « 1061,31

Demak, yil oxirida mablag’ xajmi $1061b31 bo’ladi.

3. 
   . 6% li daromad beradigan bankka $1000 qo’yilgan. Bank hisoblashni har oyda har kunlik hisoblashlarda amalga oshirsa yil oxirida qo’yilgan mablag’ miqdori qancha bo’ladi? P=1000, r=6, m=12 va t=1 qiymatlarni (10) formulaga qo’yamiz:
   

Q = 1000(1 + 0,06 /12)¹² = 1000 • (1,005)¹² = 1000 • 1,06167781 « 1061,68

Demak, yil oxirida mablag’ xajmi $1061,68 bo’ladi.

4. 
   . 6% li daromad beradigan bankka $1000 qo’yilgan. Bank hisoblashni uzluksiz amalga oshirsa, yil oxirida qo’yilgan mablag’ miqdori qancha bo’ladi?
   

Q_t = P ■ e^rt/100 formulaga ko’ra, Q₁ = 1000 ■ e^0,06 « 1061,84 dollar bo’ladi.

2. 
   Funksiya limiti.
   

Funksiyaning cheksizlikdagi limiti.

Ushbu funksiyani ko’raylik

2. 
   _X ²
   

f( x ) = -Ft

X + 1

Bu funksiyaning grafigini 1-jadval yordamida chizish mumkin.

1-Jadval X	0	1	2	3	4	5	10	100	1000
2 x ^2	0	1	8	18	32	50	200	20000	2000000
x ^2 +1			5	10	17	26	101	10001	1000001

Jadvaldan ko’rinib turibdiki, x ni etarli kattalashtirib borsak, f(x) ning qiymati 2 ga yaqinlashib boradi. Boshqacha qilib aytganda, biz (f(x) - 2) ayirmani, x ni etarli katta qilish hisobiga, etarli kichik qilish mumkin, ya’ni ixtiyoriy s > 0 uchun shunday musbat N topish mumkinki, x > N shartni qanoatlantiruvchi argumentlarda |f (x) - 2\ tengsizlik o’rinli bo’ladi.

x ni cheksiz kattalashtirishni x — +да belgi bilan ifodalanadi. Shuning uchun

2. 
   x
   lim
   ²
   

x	0	-1	-2	-3	-4	-5	-10	-100	-1000
2 x^2	0	1	8	18	32	50	200	20000	2000000
x^2 +1			5	10	17	26	101	10001	1000001

x² +1


= 2


2-jadva




Xuddi yuqoridagidek, x ni cheksiz kamaytirsak, f (x) 2 ga yaqinlashadi, ya’ni ixtiyoriy s>0 uchun shunday N < 0 son topish mumkinki, x < N lar uchun |f (x) - 2|

2x²

l
= 2
im

x +1

Ta’rif 1. f (x) funksiya (а,+да) oraliqda Aniqlangan funksiya bo’lsin. Agar ixtiyoriy s>0 son olinganda ham shunday M > 0 son topilsaki, x > M tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x larda

f( x) - A < s (8)

tengsizlik bajarilsa, u holda A son f (x) funksiyaning x —+да dagi limiti deyiladi va

lim f (x) = A,

x —+rc

kabi yoziladi.

Ta’rif 2. f (x) funksiya (-», a) oraliqda aniqlangan funksiya bo’lsin. Agar ixtiyoriy s>0 son olinganda ham shunday M < 0 son topilsaki, x < M tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x larda

\f (X) - A < s (8)

tengsizlik bajarilsa, u holda A son f (x) funksiyaning dagi

limiti deyiladi va

lim f (x) = A,

x—^Ф

kabi yoziladi.f (x) - A tengsizlik qo’sh tengsizlikka A - s< f (x) < A + s ekvivalent bo’lganligi uchun Ixl >M shartni qanoatlantiruvchi barcha x

lar uchun f (x) funksiya grafigining ordinatalari A -s< y < A + s tengsizlikni qanoatlantiradi (1-rasm).

Misollar.

3_x + 2

1. 
   lim = 3 ekanligini isbot qiling.
   

x^+x x
3x + 2

3

< s tengsizlik, yoki

< s

x

Ixtiyoriy s>0 son uchun

2

tengsizlik x >— lar uchun bajariladi. Demak, ixtiyoriy s>0 uchun shunday

s

2

^N =— son topiladiki, x > N shartni qanoatlantiruvchi barcha x larda

s

If (x) - 3| ^3x + ² = 3 bo’ladi

x^+x x

+^x 2 x +

5
3

4 + — v ^x;

3

4 + _ lim

4 x + 3 _x +^x lim = lim =

x—+x 2 x + 5 x—+x

lim 4 + 3 lim

x——+x x——+x

4 + 3.0 = 4 = ₂ 2 + 5.0 = 2 =

v ^x ;

r