Microsoft Word Funksiya limit doc

N с Z с Q с R, I с R, R = Q UIFunksiya tushunchasi. Ko’pincha ikki o’zgaruvchi orasidagi munosabatlarda birining o’zgarishi ikkinchisiga ta’sir qiladi. Masalan, biror mahsulot uchun olinadigan nalog uning narxiga bog’liqdir; biror yopiq jism ichidagi havoning bosimi uning teperaturasiga bog’liqdir.

Doiraning yuzi uning radiusi orqali quyidagicha bog’langandir:

S = nr²

Bu munosabatda r ning o’zgarishiga qarab doira yuzi S-ning qiymati ham o’zgarib boradi. Ya’ni, S ning qiymati r ning qiymatiga bog’liqdir.

Ixtiyoriy X va Y to’plamlar berilgan bo’lsin.

Ta’rif 1. Agar X to’plamning ixtiyoriy x elementiga (x e X) biror qoidaga ko’ra Y to’plamning faqat bitta y elementi (y e Y) mos qo’yilgan bo’lsa, X to’plamda y = f (x) funksiya berilgan deyiladi. x ga erkli o’zgaruvchi yoki argument, y ga esa erksiz o’zgaruvchi deyiladi.

Ta’rif 2. X to’plamga funksiyaning aniqlanish sohasi, Y to’plamga esa funksiyaning o’zgarish sohasi deyiladi.

Misollar.

x — 6

1. 
   f (x) = —г funksiya berilgan. f (7) = ?
   

x — 2

7 — 6 1

^{f (7)} = 7 — 2 = 5

2. 
   f (x) = 4x — 17 bo’lsa, f (x + 5) ni toping.
   

f (x + 5) = 4( x + 5) — 17 = 4x — 5

3. 
   f(x) = ->/x(x — 2)(x — 4) funksiyaning aniqlanish sohasini toping. Buning uchun x(x — 2)(x — 4) > 0 tengsizlikni echamiz. Bundan x e[0, 2] va x e [4, да) kelib chiqadi.
   

1. 
   Funksiya berilgan
   

П
^{f( x)} = 1. 2
/(x — 1) agar x < 1 , bo' lsa,

[ 3x² +1 agar x > 1 , bo' lsa. f (—1/2) = ?, f (2) = ?

f(—1/2) = -T— = "^:₃, f (2) = 3-2² +1 = 13,

6. 
   y = log₃ sinx W4 — x² funksiyaning aniqlanish sohasini toping. Buning uchun
   

Г sin x > 0

4. 
   — x² > 0
   

tengsizliklar sistemasini echamiz.

2rni < x < n + 2nn

<

x
₂ ^ (0, 2].
6x

6. 
   y = 1 2 funksiyaning o’zgarish sohasini toping. Bu funksiyaning
   

1 + x

o’zgarish sohasini topish uchun unga teskari x =
funksiyaning aniqlanish sohasini topamiz; bu esa berilgan funksiyaning o’zgarish

sohasi bo’ladi. Teskari funksiyani topish uchun x²y — 6x+y = 0 dan x ni topish kerak. Oshkormas ko’rinishda berilgan bu funksiyaning aniqlanish sohasi kvadrat uch had diskriminantining musbatligidan topamiz; ya’ni

6² — 4y² > 0, y² < 9, — 3 < y < 3. Demak, funksiyaning o’zgarish sohasi y e [—3, 3].

2. 
   Funksiyaning berilish usullari.
   

1. 
   Analitik usul. Ya’ni funksiya y = f (x) formula ko’rinishda beriladi. Masalan, y = sin x + x,
   

Г x agar x < 0 bo' lsa,

y [V1 — x agar x > 0 bo’ lsa.

2. 
   Jadval usul. Bu usulda har bir x ga f (x) qiymatlar jadvali beriladi. Funksiyaning jadval usulida berilganda ko’pincha ma’lumotlar, asosan, tajriba yoki kuzatish natijasida olinadi.
   
3. 
   Grafik usul. Bu usulda funksiyaning tekislikda (x,y) nuqtalar to’plami koordinatalar tekisligida ifodalanadi. Funksiya grafik usulda berilishining qulayligi shundaki, bu grafik bo’yicha jarayonning hususiyati to’g’risida yaqqol ma’lumot olish mumkin. Odatda, funksiyaning grafigi biror chiziqdan iborat bo’ladi.
   

3. 
   Funksiya xossalari.
   

1. 
   Funksiyaning juft-toqligi.
   

Ta’rif 3. y = f (x) funksiya berilgan bo’lib x funksiyaning aniqlanish sohasidagi ixtiyoriy nuqta bo’lsin. Agar ixtiyoriy x uchun a) f (—x) = f (x) tenglik o’rinli bo’lsa, funksiya juft; b) f (—x) = — f (x) tenglik o’rinli bo’lsa, funksiya toq; c) a) va b) dagi xossalarga ega bo’lmasa, funksiya juft va toqlik xossalariga ega emas deyiladi.

x (2^x + 1)

Misol. y ⁼ ~2x—f" funksiyaning juft-toqligini aniqlang.

2^—x + 1 2^x + 1

f (—x) = —x = x— = f (x).

2^—x — 1 2^x — 1

Demak, funksiya juft.

Juft funksiyaning grafigi y o’qiga nisbatan simmetrik bo’ladi (1-rasm), toq funksiyaning grafigi esa, koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’ladi (2-rasm). Funksiya juft yoki toq xossasiga ega bo’lishi uchun uning Aniqlanish sohasi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’lishi lozim.



X

1. 
   - rasm 2-rasm
   

2. 
   Funksiya monotonligi.
   

Ta’rif 4. X oraliqda y = f (x) funksiya berilgan bo’lib, ixtiyoriy x_1s x₂ e X uchun x₁ < x₂ bo’lsin. Agar f (x₁) < f (x₂) bo’lsa, funksiya

X oraliqda o’suvchi deyiladi; f (x₁) >f (x₂) bo’lsa funksiya bu oraliqda kamayuvchi deyiladi.

Ta’rif 5. X oraliqda y = f (x) funksiya berilgan bo’lib, ixtiyoriy x₁, x₂ e X uchun x₁ < x₂ bo’lsin. Agar f (x₁) < f (x₂) bo’lsa, funksiya X oraliqda kamaymaydigan deyiladi; f (x₁) > f (x₂) bo’lsa, funksiya bu oraliqda o’smaydigan deyiladi.

Ta’rif 6. Biror X oraliqda y = f (x) funksiya o’suvchi (kamaymaydigan) yoki kamayuvchi (o’smaydigan) bo’lsa, bunday oraliq qat’iy monotonlik oraliqlari deyiladi.

3. 
   Davriy funksiya.
   

Ta’rif 7. Agar y = f (x) funksiya X oraliqda aniqlangan bo’lib, ixtiyoriy x eX uchun f (x + T) = f (x) (T ф 0) bo’lsa, bunday funksiya davriy funksiya deyiladi. f (x + T) = f (x) (T ф 0) tenglikni qanoatlantiruvchi eng kichik musbat T ga funksiyaning davri deyiladi.

4. 
   Oshkor va oshkormas funksiya.
   

Ta’rif 8. Agar funksiya analitik ko’rinishda berilgan bo’lib, erksiz o’zgaruvchiga nisbatan echilgan bo’lsa, funksiya oshkor berilgan deyiladi. Agar funksiya F(x,y) = 0 ko’rinishda bo’lsa, funksiya oshkormas

ko’rinishda berilgan deyiladi. Masalan, y = 3x² +1 munosabat oshkor

funksiyadir. x⁴ + y² — x = 0 munosabat esa, oshkormas ko’rinishda berilgan funksiyadir.

5. 
   Teskari funksiya.
   

Ta’rif 9. y = f (x) funksiyaning aniqlanish sohasi X bo’lib, qiymatlar to’plami Y bo’lsin. Y to’plamdan olingan ixtiyoriy y e Y ga yagona x e X mos qo’yamiz (f (x) = y). U holda Y to’plamda aniqlangan

o’zgarish sohasi X bo’lgan x - (p⁽y) funksiyaga teskari funksiya deyiladi.

x - o’zgaruvchi orqali erkli o’zgaruvchini belgilash odat bo’lgani uchun, funksiyani ^y orqali belgilasak, y - f (x) ga teskari funksiya

y -
bo’ladi. Teskari funksiyani odatda y - f ^_1(x) ko’rinishda belgilanadi. O’zaro teskari funksiyalarning grafiklari У ^{— x} to’g’ri chiziqqa

nisbatan simmetrik bo’ladi. Masalan, У — a^x funksiyaga y - log_ax funksiya teskari funksiyadir. Teskari funksiya ta’rifidan

y ^{- f (f _1 (x)) x - f _1 (f (x))}

tengliklar kelib chiqadi.

6. 
   Murakkab funksiya.
   

Ta’rif 10. y - f (z) funksiya Z to’plamda aniqlangan bo’lib, uning

o’zgarish sohasi Y bo’lsin. z esa o’z navbatida X to’plamda aniqlangan x argumentning funksiyasi, o’zgarish sohasi Z to’plamdan iborat bo’lsin. U holda, X to’plamda aniqlangan y - f [@(x)] funksiyaga murakkab funksiya deyiladi.

Masalan, y - coslnx murakkab funksiya, chunki, uni quyidagi funksiyalar y - cos, z - lnx kombinatsiyalari sifatida ifodalash mumkin.

Misollar. f (x) - 3x - 2 va g(x) - x - x funksiyalar berilgan. f (g(x)) va g^{(f (x))} larni toping.

f (g(x)) - f (x² - x) - 3(x² - x) - 2 - 3x² - 3x - 2,

g(f (x)) - g(3x - 2) - (3x - 2)² - (3x - 2) - 9x² - 15x + 6.

7. 
   Funksiya klassifikatsiyalari.
   

Funksiyalarning algebraik va transdent turlari mavjud.

n n—1

• 
  ko’phadlar: y - a₀x + a₁ x + ••• + a_n-1 x + a_n
  
• 
  ratsional funksiyalar: y - N(x)/ D(x), bu erda N(x) va D(x) funksiyalar ko’phadlaridir.
  
• 
  irratsional funksiyalar (argumentida ildizdan chiqarish amali ishtirok etadigan funksiyalar)
  

Algebraik bo’lmagan funksiyalarga transsendent funksiyalar deyiladi. Bunday funksiyalarga ko’rsatkichli, logarifmik, trigonometrik va teskari trigonometrik funksiyalar kiradi. Ko’phad darajasi kichik bo’lganda ular

maxsus nomlanadi. n -1 bo’lsa, ya’ni y - ax + b bo’lsa, bunday

funksiya chiziqli funksiya deyiladi. n - 2 bo’lganda ya’ni y - ax + bx + c bo’lganda funksiya kvadratik funksiya deyiladi.

8. 
   Iqtisodiyotda ishlatiladigan ayrim funksiyalar.
   

1. 
   Xarajat funksiyasi. Bu funksiya S(x) orqali ifodalanib, u x xajmdagi mahsulotni ishlab chiqarish uchun ketadigan xarajatni bildiradi. Biz ko’pincha xarajat funksiyasini C(x) = mx + b chiziqli funksiya ko’rinishida olamiz. Bu erda b o’zgarmas xarajatni, m esa birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun ketadigan xarajatni bildiradi. O’zgarmas xarajatga er, bino, nalog va ishlab chiqarish resurslarining qiymatlari kiradi. Korxona ishlamagan taqdirda ham bu xarajat mavjud bo’ladi. Umuman olganda, C(x) chiziqli bo’lmaydi. Masalan, korxonaning ish unumdorligi oshganda ko’p mahsulot ishlab chiqarishi mumkin.
   

Misollar.

1. 
   Ishlab chiqaruvchining o’zgarmas harajati $200 bo’lib, har bir chiqarilgan mahsulot uchun esa $50 sarf qiladi. Umumiy harajatni ishlab chiqariladigan mahsulot xajmi orqali ifodalovchi funksiyani toping.
   

x orqali tovar xajmini, C (x) orqali umumiy xarajatni belgilaylik. U holda C(x) = 50x + 200 bo’ladi.

2. 
   Yil boshidan har oyda bir buxanka nonning o’sishi 2 sentni tashkil qiladi. Birinchi noyabrda (1 - chi oyda) nonning bahosi 64 sentga chiqdi. Nonning vaqtga nisbatan funksiyasini toping va 1-yanvarda non narxi qancha bo’lgan? x orqali oylarni, y orqali non narxini belgilaymiz. x = 10 bo’lganda y = 64 ga teng. Demak, y = 64 + 2(x - 10) = 2x + 44. Yil boshida non narxi (x = 0) 44 sentga teng.
   

2. 
   Kirim funksiyasi. Bu funksiya R(x) orqali ifodalanib, x tovar birligini sotishdan tushgan kirimni bildiradi. Ko’pincha, R(x) = mx chiziqli bo’lib, m bir birlik tovarning narxidir. Lekin R(x) har doim chiziqli bo’lavermaydi. Ba’zan ko’p miqdorda mahsulot xarid qiluvchi xaridorga narx tushirilib beriladi; ba’zan tovar narxi ko’tarilib yoki tushib turishi mumkin.
   
3. 
   Foyda funksiyasi. Bu funksiya P(x) (yoki ^(x)) orqali ifodalanib, x birlik tovarni sotishdan tushgan foydani ifodalaydi: P(x) = R(x) - C(x). Korxona P( x) funksiyani maksimallashtirishga intiladi.
   

Misol. Tovarning sotilish narxi 0,40$. O’zgarmas xarajat 200$ har bir tovar uchun ketgan xarajat esa 0,20$ bo’lsa,

1. 
   umumiy xarajatni b) umumiy kirimn va c) foyda funksiyalarini toping.
   

Echish. a) umumiy xarajat C(x) = 200 + 0,20x.

2. 
   kirim funksiyasi - R (x) = 0,40x bo’ladi.
   
3. 
   foyda funksiyasi - P( x) = 0,40x - (200 + 0,20x) yoki P(x) = 0,20x - 200.
   

4. 
   Talab funksiyasi. Bu funksiya D(x) orqali ifodalanib, x pul birligida sotilishi mumkin bo’lgan tovarlar sonini bildiradi. D(x) doimo kamayuvchi funksiya bo’ladi (tovar narxi oshirilsa kamroq tovar sotiladi). D(x) = 0 bo’ladigan nuqta x ning shunday kichik qiymatiki bu narxda hech kim tovar sotib olmaydi. Masalan, D(x) = —10x + 400 bo’lsa, x = 40 bo’lganda sotib oluvchilar soni nolga teng. Agar x = 0 bo’lsa, 400 kishi tovarni sovg’a sifatida olgan bo’ladi. Bu xol D (x) funksiyaning umuman chiziqli emasligini ko’rsatadi.
   
5. 
   Taklif funksiyasi. Bu funksiya S(x) orqali ifodalanib, bu x narxda ishlab chiqaruvchinng taklif qilgan tovarlar sonini bildiradi. Tovar narxi oshsa, ishlab chiqaruvchi yuqori foyda olishga harakat qiladi; shuning uchun u ishlab chiqarishlar sonini ko’paytirishga intiladi. S (x) o’suvchi funksiya bo’ladi.
   

D(x) = S(x) tenglikni qanoatlantiruvchi narxga muvozanat narx deyiladi.

Misollar.

1. 
   Tovarning taklif va talab funksiyalari.
   

S = {(q,p) q — p = —7}, D = {(p,q)| q + 3p = 10} bo’lsin. Taklif funksiyasi q_S va talab funksiyasi q_D hamda ularga teskari bo’lgan funksiyalarni aniqlang.

To’plam ta’rifidan foydalansak,

qS (p) = p — 7 va ps ⁽q⁾ = q + ⁷

q_D(p) = 10 — 3p va p_D(q) = -3(10 — q) ekanligi kelib chiqadi.

2. 
   Taklif va talab funksiyalari
   

S = {(q,p) 5p — q² — 2q = 27}, D = {(p,q) p + q^z + 2q = 15}

ko’rinishda berilgan bo’lsin. Teskari talab va taklif funksiyalarini keltiring. Muvozanat to’plam E = SID ni toping.

p = ps⁽q⁾ = j(q² + ²q + ²⁷), pd⁽q⁾ = ^— q^{2 — 2}q +¹⁵.

E = SID to’plamni topish uchun

-5 (q ² + 2q + 27) = 15 — q ² — 2 q

tenglamani echamiz. Bundan q = —4, q = 2 hosil bo’ladi. Demak, E = {(—4,7),(2,7)}. Iqtisodiy nuqtai nazardan q = —4 bo’la olmaydi. Demak, muvozanat narx p = 7 dan iborat.

3. 
   Fabrikaning ishlab chiqargan har bir ruchkasining xarajati $2. Agar ruchkani $5 dan sotganda bir oyda 4000 ta ruchka sotiladi. Fabrikaning oylik foydasini ruchka narxi orqali ifodalang.
   

2
x orqali ruchkaning sotilishi mumkin bo’lgan narxini, P(x) orqali esa, foydani belgilaylik. U xolda x narxda sotilishi mumkin bo’lgan ruchkalar soni N = 4000 - 400(x - 5) bo’ladi. Bir dona ruchkadan qoladigan foyda x - 2 bo’ladi. Demak, umumiy foyda P(x) = 400(15 - x)(x - 2) ko’rinishda bo’ladi.

Mashqlar.

1. 
   У = 3(x² - 10x + 2l) parabolaning 3y = 3 +11 to’g’ri chiziq bilan
   

kesishish nuqtasini toping.

2. 
   A(1,2),B(2,3) va C(3,5) nuqtalardan o’tuvchi porabola tenglamasini tuzing.
   

x - 6

3. 
   f (x) = —- funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
   

x - 2

4.