Microsoft Word Funksiya limit doc

-2, -4, -6, -8, -10, — , -2n, ••• ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan, chunki ketma-ketlikning har bir hadi -2 dan katta emas.

Ta’rif 2. Agar shunday o’zgarmas m soni mavjud bo’lsaki, {a_n}

ketma-ketlikning har bir hadi shu sondan kichik bo’lmasa, ya’ni a_n > m

bo’lsa, bu ketma-ketlik quyidan chegaralangan deb aytiladi.

Masalan, Ushbu

1. 
   1 1 1 I
   

’ 2’ 3’ 4’ n ^ ketma-ketlik quyidan chegaralangan, chunki ketma-ketlikning har bir hadi 1 dan kichik emas.

Ta’rif 3. Agar {a_n} ketma-ketlik ham quyidan, ham yuqoridan

chegaralangan bo’lsa, u chegaralangan ketma-ketlik deb aytiladi.

Masalan, Ushbu

1. 
   1 1 1 1
   

2 4 8 ’ 2ⁿ⁴¹’ ketma-ketlik chegaralangandir. a₁ , a₂, • •• , a_n, ••• ketma-ketlik berilgan bo’lsin.

Ta’rif 4. Agar ixtiyoriy s > 0 son uchun, shunday N nomer topilsaki, ^an ketma-ketlikning n > N shartini qanoatlantiruvchi hadlari uchun A - s < a_n < A + s (a_n - A| < s) tengsizlik o’rinli bo’lsa, A soni ketma-

ketlikning limiti deyiladi va ^an ^{- A} yoki ^a_n ^ ^A ko’rinishda yoziladi.

Ta’rif 5. Agar A soni chekli bo’lsa, ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi. Agar ketma-ketlikning limiti chekli bo’lmasa yoki ketma-ketlik limitga ega bo’lmasa, ketma-ketlik uzoqlashuvchi deyiladi.

Agar a_n ketma-ketlikning elementlarini tekislikda ^{(n a}_n⁾ nuqtalar orqali ifodalasak, A-s< a_n < A + s tengsizlik n > N shartini qanoatlantiruvchi (n,a_n) barcha nuqtalar absissa o’qiga parallel bo’lgan a-s va a+s to’g’ri chiziqlar orasida joylashgan bo’ladi.

Misol. I - г ketma-ketlikning Hm^{1 - 0} ekanligini ko’rsatamiz. s- 0,1

bo’lganda N -ni topaylik. U holda a_n - 0 tengsizlik, ya’ni n ^Ks tengsizlik n > 10 bo’lganda bajariladi. Ya’ni N -10 bo’ladi. s- 0,01 bo’lganda esa, N -100 bo’ladi. Ixtiyoriy s>0 son uchun esa, ^
tengsizlik n >¹ da bajariladi. Shunday qilib, ixtiyoriy £>0 shunday N = -

£ £

son topiladiki, n > N lar uchun \a_n - 0 <£ tengsizlik bajariladi, bu esa, lim- = 0 ekanligidir.

n^-a n

Ta’rif 6. Agar a_n ketma-ketlik uchun lim a_n = 0 bo’lsa, a_n cheksiz

kichik miqdor deyiladi.

Ta’rif 7. Agar etarli katta musbat M son uchun shunday nomer N topilsaki, n > N lar uchun |Д,| >M bo’lsa, в _n ketma-ketlik cheksiz katta miqdor deyiladi va lim p_n = a ko’rinishda yoziladi.

a_n va b_n ketma-ketliklar berilgan bo’lib, lim a_n va limb_n limitlar

mavjud bo’lsin. U holda ketma-ketliklar yig’indisining, ko’paytmasining, limb_n ф 0 bo’lganda esa, ketma-ketliklar nisbatlarining ham limiti mavjud

bo’lib, quyidagilar o’rinlidir.

lim(an ± b„) = l^ima„± limb„ Hm(a„ • b_n)= lima_n• limb_n

ⁿ^^a n^a ⁿ^^a ’ ”

^lim(a„ ^{/ b}n ⁾= ^{lim a}n ^{/lim b}n .

Endi, agar ^liman =^a va ^limbn =^a bo’lganda, lim(a„ - b_n) mavjud

* M И V -/-s ” И

n^a

bo’lishi mumkin. Bunday holda a-a tipidagi aniqmaslik deyiladi. Xuddi shuningdek, nijS^(an ^/bn⁾ mavjud bo’lishi mumkin. Bunday holatda

aniqmaslikning tipi a / a ko’rinishda deyiladi. Agar ^{lim a}n = ⁰ va lim b_n = 0

s'-* n^-rc n^-a

bo’lsa, J^ima^(a«^/bn) mavjud bo’lishi mumkin; bunday holatda 0/0 tipidagi

aniqmaslik deyiladi.

Keltirilgan holatlarda yuqoridagi xossalarni ishlatib bo’lmaydi. Aniqmasliklarni ochish uchun algebraik almashtirishlar amalga oshirilib, limitning xossalaridan foydalaniladi.

Misollar.
2 n +1

lim

n^a

lim

n^a

r

4 -¹

V nJ

4 - -

V nJ

n

1. lim -—- hisoblang. ^lim7“ 1

n^-a4n — 1 n^-a^{4n 1}

2n +1

г

2 + - V nJ

2 + - V nJ

n

2 = 1 4 = 2'

5 + - V nJ

n

5n +1

2 lim — = lim

₃ 4_——<sup>л

V</sup> n n^{2 J}

n^x 3n + 4n — 1 n^x 2

n

6n⁴ — 1

3. lim

“3—7 ni hisoblang.

n^x n + 4

/