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geometria
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Nas coleções aprovadas no PNLD 2018, observa-se que o estudo específico da geometria é feito em 
três momentos. Inicialmente, no livro do 1º ano, abordam-se as relações métricas e trigonométricas 
nos triângulos e os conceitos em que elas se apoiam. Tais conceitos são os de comprimento de seg-
mentos, o de semelhança de figuras geométricas planas e de área dessas figuras; os dois teoremas 
centrais são os de Tales e o de Pitágoras. Como esses conteúdos fazem parte da grade curricular 
da etapa anterior da escolarização básica, justifica-se que sejam abordados como uma revisão no 
Ensino Médio. Em quase todas as obras aprovadas, porém, prevalece um tratamento descritivo dos 
conteúdos, com o foco em aplicações dos teoremas. Emprega-se uma argumentação que leva em 
conta o encadeamento lógico dos conceitos e procedimentos, mas se recorre pouco a demonstrações 
matemáticas detalhadas. Em geral, podemos dizer que, neste primeiro momento, o estudo de geo-
metria é satisfatório, ainda que, em alguns casos, pudesse ser atenuado o caráter demasiadamente 
descritivo e a atenção excessiva à nomenclatura. Observam-se, também, algumas imprecisões nas 
demonstrações que devem ser evitadas.
No que respeita a esse tipo de argumentação lógica, o estudante volta a ser solicitado a estudar o 
caráter dedutivo da Matemática quando se aborda a geometria espacial de posição, porém muitas 
vezes sem os cuidados necessários. Isso acontece ao serem propostos conjuntos de axiomas, por 
vezes insuficientes para as deduções que são feitas posteriormente.
Além disso, as justificativas apresentadas para calcular o volume de prismas, em particular do paralele-
pípedo reto-retângulo, somente são válidas se as arestas forem comensuráveis entre si. É dispensável, 
no Ensino Médio, fazer uma demonstração completa da validade dessa fórmula, no entanto, é importan-
te mencionar ser possível demonstrar que a expressão indicada aplica-se a qualquer paralelepípedo.

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No estudo das figuras geométricas, acertadamente, tem sido priorizada a classificação em duas famí-
lias distintas: as planas e as não planas (ou espaciais). Como sabemos, as primeiras são aquelas nas 
quais existe um plano contendo todos os pontos dessa figura; as figuras não planas são todas as de-
mais. A classificação das figuras geométricas segundo sua dimensão, estudada nos livros aprovados, 
também é importante, mas as relações entre essas duas classificações ainda não têm sido abordadas 
de modo apropriado. Por exemplo, nem sempre fica claro que, em um cubo – figura geométrica não 
plana – podemos identificar: uma figura 
tridimensional
, considerando os pontos interiores e os do 
contorno do cubo; uma figura 
bidimensional
, tomando apenas o contorno do cubo; uma figura 
unidi-
mensional
, que reúne as arestas do cubo; e, finalmente, uma figura geométrica de 
dimensão zero
, a 
união dos vértices do cubo. É fácil encontrarmos modelos para essas figuras geométricas no mundo 
físico, podendo-se indicar, respectivamente, um dado maciço, uma caixa cúbica oca, um esqueleto 
cúbico feito de canudos, ou uma disposição cúbica de partículas. Trata-se, aqui, de um bom momen-
to, nem sempre aproveitado nos livros, para ressaltar um aspecto importante da linguagem matemá-
tica, porque não só os quatro conceitos matemáticos em foco como seus correspondentes modelos 
físicos podem ser denominados por uma única palavra: cubo. 
Nos livros didáticos para o Ensino Médio, tem-se recorrido ao princípio de Cavalieri para calcular 
volumes, o que é bem apropriado, pois, de outro modo, seriam exigidos métodos infinitesimais. No 
entanto, é necessário cuidado ao empregar esse princípio. Nos livros, nem sempre se justifica de 
modo satisfatório a igualdade das áreas das seções dos sólidos em jogo, necessária para aplicação 
do referido princípio.  Sabemos que, para tanto, precisamos recorrer de modo adequado aos concei-
tos geométricos de congruência e de semelhança entre superfícies, o que por vezes não se faz.
Ainda com respeito à geometria espacial, nota-se tendência análoga à encontrada na apresentação 
da geometria plana, que é a ênfase nas classificações e a carência de problemas instigantes. Em espe-
cial, recai-se em monótonas aplicações da álgebra nos exercícios sobre áreas e volumes. Somente em 
algumas obras, mas ainda de modo incipiente e não de todo livre de imprecisões, observa-se maior 
exploração da capacidade de visualização do estudante, tão necessária em estudos posteriores e em 
muitas profissões, como as ligadas à mecânica, à arquitetura e às artes. A apresentação de vistas de 
sólidos mais complexos é uma ótima oportunidade para exercitar a capacidade de visualização es-
pacial dos estudantes. Porém, no Ensino Médio, geralmente não se tem contribuído suficientemente 
para o aperfeiçoamento das habilidades de desenho e de visualização de objetos geométricos espa-
ciais. É necessário, assim, que se dê importância ao trabalho com diferentes perspectivas, projeções, 
cortes, planificações, entre outros recursos de representação dos objetos.
Em todas as obras aprovadas, estudam-se os poliedros que são, geralmente, definidos como figuras 
geométricas tridimensionais e, por isso, espaciais. Sabemos que as superfícies que compõem o con-
torno dessas figuras são também espaciais, mas não são tridimensionais e, sim, bidimensionais. A 
esse respeito, ao serem propostas atividades de planificação, é preciso deixar claro que elas visam à 
planificação da superfície do poliedro e não a do poliedro como um objeto tridimensional.
Nas coleções resenhadas neste Guia, aborda-se a Relação de Euler. Em todas elas, há cuidado na for-
mulação da hipótese de convexidade do poliedro - e na indicação de que tal hipótese não é necessá-

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ria para a validade da relação - bem como na apresentação de contraexemplos no caso de poliedros 
não convexos. No entanto, a Relação de Euler torna-se um tema mais relevante quando se estudam 
suas aplicações na Matemática. Uma das mais instigantes é a que conduz ao fato surpreendente de 
que só existem 5 poliedros regulares, os chamados Poliedros de Platão. Observa-se que muitas das 
coleções aprovadas tratam desse fato, mas outras o omitem e se restringem ao emprego direto da 
relação em exercícios corriqueiros e pouco estimulantes.
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