Ministério da educação secretaria de educação básica

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(f )
   
Dom 
(g).
No estudo de funções, é relevante abordar diferentes representações – tabelas, gráficos, fórmulas 
algébricas – estabelecendo-se relações entre elas. Em geral, um problema inicialmente formulado 
de maneira algébrica pode ser mais facilmente resolvido, ou compreendido, quando é interpretado 
geometricamente, e vice-versa. Por exemplo, a simetria axial presente nas funções quadráticas é 
facilmente perceptível no gráfico e, no entanto, pode exigir esforço de cálculo se for utilizada sua 
representação algébrica.
O uso de aplicativos computacionais, que permitem visualizar o gráfico de funções, ajuda tanto a 
perceber as propriedades dos seus vários tipos, quanto a fazer experimentos com maior riqueza de 
exemplos. Por isso, é elogiável a tendência, observada em alguns livros didáticos destinados ao En-
sino Médio, de empregar os referidos aplicativos como recurso para a aprendizagem da Matemática.
Como sabemos, os gráficos de funções no plano cartesiano desempenham um papel fundamental. 
Em alguns livros didáticos para o Ensino Médio, observa-se que não são tomados os devidos cuida-
dos na construção de gráficos de funções. Por exemplo, com um número reduzido de valores da vari-
ável independente, o estudante é induzido a considerar que é possível construir o gráfico cartesiano 
de uma função. É comum passar-se, sem explicações adicionais, de uma tabela com três ou quatro 
valores de x para o desenho de uma parábola como gráfico de uma função quadrática. Outra falha 
é recorrer a gráficos estatísticos para construir funções reais de variável real. No caso das variáveis 

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discretas, o gráfico estatístico pode ser constituído por pontos isolados no plano cartesiano ou por 
barras verticais. Isto não permite que, sem nenhum comentário explicativo, se passe para o gráfico 
de uma função com variável independente contínua. Na estatística, muitas vezes, utiliza-se o pro-
cedimento de ligar os pontos isolados de um gráfico discreto por uma curva contínua. No entanto, 
deveria ser salientado que se trata apenas de um procedimento para auxiliar a visualização do com-
portamento da variável estatística.
Deve-se ter cuidado com o emprego dos gráficos de linha, da estatística, para contextualizar e moti-
var o estudante no início do estudo dos gráficos de funções. Em geral, procede-se da seguinte manei-
ra: são dados pontos 
t
1
, 
t
2
, ..., 
t
n–
1
, 
t
n
, igualmente espaçados sobre o eixo horizontal e os valores 
u
1
, 
u
2
, 
..., 
u
n–
1
, 
u
n
, de alguma variável quantitativa nos referidos pontos. Unem-se então os pares de pontos 
(
t
1
, 
u
1
), (
t
2
, 
u
2
), ..., (
t
n–
1
, 
u
n–
1
), (
t
n
, 
u
n
) por segmentos de retas e afirma-se explicitamente, ou simplesmente 
é sugerido, que o gráfico assim obtido é o gráfico de uma função que modeliza a situação tratada. 
Isso não é verdade. Os pontos dos segmentos de reta do gráfico obtido não estão relacionados com a 
situação estudada, exceto para os pontos de abcissas 
t
1
, 
t
2
, ..., 
t
n–
1
, 
t
n
, em que temos: 
f
(
t
1
) = 
u
1
, 
f
(
t
2
) = 
u
2
, 
f
(
t
3
) = 
u
3
, ... 
f
(
t
n
) = 
u
n
. O gráfico obtido simplesmente auxilia na análise de crescimento ou decrescimen-
to das quantidades em foco, diferentemente dos pontos (
t
, 
f
(
t
)) que pertencem ao gráfico da função 
afim por partes, sempre que t for um ponto qualquer do domínio 
D
 da função.
Outro ponto de dificuldade para os estudantes, mas ignorado geralmente nas coleções, é que, por 
exemplo, as igualdades 
f
(
x
) = 
x
2
 + 3
x
 – 4 e 
f
(
t
) = 
t
2
 + 3
t
 – 4 definem exatamente a mesma função se seus 
domínios e o contradomínios forem iguais. Isso fica claro se lembrarmos de que a expressão analítica 
de uma função é simplesmente uma maneira simbólica de descrever de maneira concisa e exata a 
lei de correspondência que define a função. A lei de formação, nos dois casos, é “dado um número, 
eleve-o ao quadrado, some a esse resultado 3 vezes o mesmo número e do resultado assim obtido 
subtraia 4”. Vemos assim que, usando qualquer uma das duas expressões analíticas, os valores das 
funções para um mesmo elemento de seu domínio são iguais. Portanto, as funções são iguais. O 
mesmo se pode dizer para as expressões 
cos
(
x
), 
cos
(
t
), 
cos
(
Θ
), ou 
e
x
, 
e
t
, 
e
Θ
. Essa dificuldade se torna 
particularmente evidente quando os estudantes estudam simultaneamente Matemática e Física. Na 
primeira, adota-se geralmente a variável x; e, na segunda, a variável 
t
. 
No Ensino Médio, são trabalhadas, com frequência, questões que envolvem porcentagens, acréscimos 
e descontos, juros simples e compostos, entre outros. Usualmente, para modelizar tais problemas re-
ais, recorre-se às funções afim e exponencial, o que se constitui em uma aplicação prática relevante 
desses dois tipos de função. De modo geral, tem havido evolução positiva no tratamento desses e de 
outros temas da denominada Matemática financeira, superando-se abordagens com ênfase na apli-
cação direta de fórmulas. No entanto, ainda são necessários mais esforços para que a abordagem da 
Matemática financeira vá um pouco além das noções mais básicas desse campo, e sejam estudados 
temas como equivalência de taxas, fator de atualização e amortização. Essas aplicações da Matemáti-
ca favorecem reflexões sobre questões sociais e econômicas relevantes e atuais, que colaboram com 
a formação do estudante para a cidadania.

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Com respeito às conexões entre conteúdos, verifica-se que, nos livros didáticos para o Ensino Médio, quase 
sempre no primeiro volume, cada classe de funções – lineares, afins, quadráticas, modulares, exponenciais 
e logarítmicas, e trigonométricas – é tratada em capítulos separados, nos quais são estudados os tópicos: 
crescimento/decrescimento; estudo do sinal; equações; e inequações. O desenvolvimento da capacidade 
de modelagem de uma situação por uma função envolve também a fase de decisão crítica de qual classe 
de função mais se adequa à relação a ser modelada. Nesse sentido, sentimos falta de uma abordagem que 
integre as diferentes classes de funções e desafie o estudante a encontrar os modelos de funções.
Para tratar de outro tema unificador, considere-se uma função 
f: R → R
, que associa a um número 
real 
x
 o número real 
y
, 
y
 = 
f(x).
Tome-se, então, um número real 
a
 e formem-se as funções dadas por: