Ministério da educação secretaria de educação básica

0,121212, ... = 12/99 = 4/33
quanto do número irracional 4/33 + √2/10000000.
Os números também são medidas de grandezas. Em todas as culturas humanas, desde os seus pri-
mórdios, foram realizadas medições de grandezas. Comprimento (distância), área, volume, tempo, 
massa, velocidade, entre outras grandezas, foram objeto de medições, processos que sempre ocupa-
ram um papel central no desenvolvimento tecnológico e social do homem.
As medições empíricas foram simultâneas à criação dos números naturais e dos fracionários e, mais 
adiante na história, dos números negativos. Dessa forma, com os números racionais, é sempre pos-
sível efetuar medições empíricas de qualquer grandeza do tipo escalar. Com o desenvolvimento da 
Matemática, em especial a partir da civilização grega, surgiu outro tipo de medida, realizada nos mo-
delos abstratos (teóricos) que constituem o cerne desse saber. Como se sabe, na obtenção da medida 
teórica da diagonal de um quadrado de lado unitário, surge a necessidade de ampliar os racionais, 
com a criação do conjunto dos números reais.
1
 
As grandezas são entendidas como atributos mensuráveis de objetos ou de fenômenos. Obter uma me-
dida – empírica ou teórica – é um processo complexo que exige várias escolhas: da grandeza a medir; da 
1. Sobre essas medidas teóricas, cabe criticar uma tradição enraizada no ensino da Matemática escolar, na abordagem do número 
irracional π. Esse número é apresentado, corretamente, como a razão entre o comprimento de uma circunferência e o compri-
mento de um de seus diâmetros. Entretanto, não se deixa claro que tais comprimentos são abstratamente definidos e não são 
os comprimentos existentes em materializações de circunferências em objetos ou em desenhos. Por vezes, até mesmo se induz o 
estudante a pensar, erroneamente, que os valores mais e mais aproximados desse número são obtidos com medições empíricas 
cada vez mais rigorosas. Ora, sabe-se que os valores sucessivamente mais aproximados de π, ou de qualquer outro número irra-
cional, são obtidos com base em fórmulas matemáticas e não provêm de medições empíricas.

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unidade de medida; do método de medição. Quando se mede uma grandeza, obtém-se um número que 
se denomina a medida da grandeza na unidade escolhida. Esse número será um racional se a medição 
for empírica e será um número real, no caso de medidas teóricas. Tome-se como exemplo o volume, 
uma das grandezas geométricas mais familiares na Matemática escolar (as outras são comprimento, 
área e abertura de ângulo). Os objetos considerados tanto podem ser materializações de regiões li-
mitadas tridimensionais no mundo físico, quanto modelos matemáticos dessas regiões, os denomi-
nados sólidos geométricos. Escolha-se, como exemplo, uma dessas regiões para medir seu volume
2
 e 
selecione-se o centímetro cúbico como unidade de medida
3
. Quando se mede uma dessas regiões, com 
instrumentos ou abstratamente, pode-se encontrar, como medidas, números racionais (2; 1/4; 1,2 x 10
-2
; 
etc.), quando a medição é empírica ou números reais (3; 0,7 x 10
-3
; 2√2; 
π
, etc.), quando se trata de uma 
medição teórica. Os símbolos compostos 2cm
3
, 1/4cm
3
, 1,2 x 10
-2
cm
3
, 2√2 cm
3
, 
π 
cm
3
 são representações 
de volumes. Assim, o volume de uma região tridimensional limitada aparece como um objeto matemá-
tico distinto da região, pois regiões diferentes podem possuir o mesmo volume. O volume também se 
distingue do número (a medida) obtido quando se mede essa região com uma unidade de medida, pois 
mudar a unidade altera o valor da medida de volume, mas o volume permanece o mesmo.
No Ensino Médio, as grandezas são importantes em todas as áreas do conhecimento. Entretanto, o es-
tudo das grandezas tem sido descuidado nesse nível de ensino. Em particular, a álgebra das grandezas 
não tem sido devidamente estudada. Por exemplo, para obter a área de um paralelogramo com um lado 
e a altura relativa a esse lado de comprimentos 4m e 5m, respectivamente, escreve-se, indevidamente: