Ministério da educação secretaria de educação básica

3/4 + 
π = a/b, b ≠
 
0, a e b inteiros,
então, teríamos:
π = a/b
 
+ (– 1)(3/4).
Tal igualdade nos diria que o número π, como soma de dois racionais, seria racional, o que é falso. 
Portanto, o número (3/4 + 
π
)
 
é irracional. 
Observamos que a prova acima pode ser estendida, tanto para o número (
p/q 
+ 
σ
) em que 
σ
 é um nú-
mero irracional e 
p/q
 é um número racional, 
q
 ≠ 0, quanto para o número 
p
.
σ/q
, em que  é um número 
irracional e, além disso, 
p
 ≠ 0, 
q
 ≠ 0.
Outro modo de proceder faz uso do fato de que toda representação decimal infinita e não periódica 
é a representação de um número irracional. Nessa direção, o que se pode é estabelecer uma regra 
que “quebre” a periodicidade dos termos de uma representação decimal infinita. Por exemplo, tome-
-se a representação infinita dada por 0,123456789111..., na qual o  
n
-ésimo dígito depois da vírgula é 
o primeiro algarismo à esquerda da escrita decimal do número 
n
, 
n
 ≥ 1. Dessa forma, garante-se que 
tal representação decimal é infinita, não periódica e, portanto, não pode ser a representação de um 
número racional. Os estudantes podem ser convidados a criar novas representações decimais infini-
tas não periódicas, usando sua imaginação, para se convencerem que há, de fato, muitos irracionais.
No entanto, tal modo de proceder requer cuidado. Por vezes, são dados os primeiros termos de uma 
representação decimal (até mesmo no visor de uma calculadora) e pede-se para o estudante decidir 
se ela é representação de um número racional ou de um irracional. Isso é impossível do ponto de 
vista matemático. A sequência de dígitos de uma representação decimal infinita (seja periódica ou 

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não) não fica determinada pelo conhecimento de um número finito desses dígitos. Isso pode induzir 
a erros. Por exemplo, se é dada a representação decimal: