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igualdade
r
i
=
r
j
. Resulta daí que os quocientes
q
i
, q
i+1
, q
i+2
, ..., q
j
formam um bloco que se repetirá in-
definidamente, na sequência dos quocientes da divisão não-exata de
D
por
d
. Se os índices
i
e
j
forem
os menores possíveis que satisfazem às condições
acima estabelecidas, o bloco
q
i
, q
i+1
, q
i+2
, ..., q
j
é
denominado
período
da representação decimal. Como convém lembrar, não provamos que só há uma
representação decimal para um número racional. Por exemplo, se aplicarmos a algoritmo usado na
demonstração ao racional 10/2, obteremos: 10/2 = 5 (representação finita). Mas sabemos que também
é válida a igualdade 10/2 = 4,999… = 4,9 (representação infinita e periódica), que não é possível obter
pelo algoritmo da demonstração apresentada. Quando desejamos estabelecer uma correspondência
biunívoca entre os números racionais e as representações decimais, uma das maneiras possíveis é
excluir as representações decimais que são compostas de infinitos algarismos 9
a partir de algum
dígito da representação.
Como todo número racional pode ser escrito como uma fração de inteiros
D/d
,
d
≠ 0 , uma consequência
imediata da proposição demonstrada é: (a) se um número real
ρ
é racional, então
ρ
admite uma repre-
sentação decimal finita ou periódica infinita. Ela é logicamente equivalente a outra proposição: (b) se é
atribuído significado matemático a uma representação decimal infinita e não periódica, então ela não
é a representação de um número racional.
Recorrer a uma dessas proposições equivalentes tem sido um caminho adotado para introduzir os nú-
meros irracionais no ensino básico, embora se observem algumas lacunas lógicas no percurso. Uma de-
las é a omissão da demonstração da proposição acima referida em sua forma (a). A outra lacuna, mais
sutil, mas não
menos grave, é não mencionar que é possível atribuir um significado matemático a uma
representação decimal infinita e não periódica. A prova dessa afirmação pode ser deixada para etapas
posteriores dos estudos em Matemática, mas é indispensável que sua existência seja mencionada.
A proposição (a) é a recíproca da proposição: (c) todo número que admite representação decimal por
representação decimal finita ou periódica infinita é um número racional. A demonstração da propo-
sição (c) é acessível no Ensino Médio, após o estudo de progressões geométricas de razão com valor
absoluto menor do que 1, o que seria
bastante significativo fazer, mas não é encontrado nas obras.
Somente com a discussão das duas proposições (a), (b) e (c) é que, de fato, fica comprovada a ca-
racterização mais encontrada nos livros para os números irracionais: um número σ é irracional se
e somente se sua representação decimal é uma representação decimal infinita e não periódica. As
lacunas acima mencionadas acabam por dificultar a correta atribuição de significados, pelos estu-
dantes, à noção de número irracional.
Outra forma de produzir números irracionais é recorrer às raízes quadradas de inteiros positivos que
não sejam quadrados perfeitos. O exemplo mais notável é a raiz quadrada do número 2, que,
desde a
Antiguidade Clássica, é objeto de estudo na Matemática. Nesse caso, não é possível provar, por méto-
dos elementares, que a representação decimal é infinita e não periódica. Mas é factível comprovar-se,
usando um raciocínio por absurdo e o teorema da decomposição única em fatores primos dos núme-
ros naturais, que √2 não pode admitir representação por uma fração de inteiros. A demonstração de
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que esse número é irracional, no sentido de não poder ser representado por uma fração de inteiros,
é um dos mais antigos e belos exemplos de dedução matemática e, acertadamente, é
feita em muitas
obras didáticas para o Ensino Médio. Ressalta-se que as provas matemáticas da irracionalidade de
muitos outros números, como
π
e
e,
são também feitas por redução ao absurdo.
Um ponto a observar é que, diante dos poucos exemplos oferecidos no ensino, o estudante seja le-
vado a pensar, erroneamente, que “os números irracionais são relativamente raros”.
Nesse sentido,
é importante um trabalho com os estudantes em que se busque gerar mais exemplos de números
irracionais. Para isso, podemos recorrer a procedimentos simples e que contribuem, além disso, para
o desenvolvimento da argumentação matemática.
Um primeiro é formar novos irracionais com base em irracionais conhecidos. Sabemos que
π
é um
número irracional. Podemos, então, afirmar, por exemplo, que o número (3/4 + π) é irracional. De fato,
a soma de dois racionais é um racional e o produto de dois racionais é um racional. Se,
por absurdo,
supusermos que o número (3/4 +
π)
é racional:
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