Ministério da educação secretaria de educação básica

P
, então 
Q
”, em que 
P
 e 
Q
 são 
proposições da teoria com a qual trabalhamos. Sendo esse o caso, suponhamos a validade de P e, 
quando necessário, adicionemos proposições válidas na teoria (axiomas ou proposições já demons-
tradas), bem como utilizemos as regras de inferência lógica admitidas. Se conseguirmos, dessa forma, 
obter a validade de 
Q
, então podemos concluir que o teorema “Se 
P
, então 
Q
” foi demonstrado. Nesse 
caso, chamamos 
P
 de 
hipótese
 e 
Q
 de 
tese
 do teorema.
Dada uma proposição “Se 
P
, então 
Q
”, a proposição “Se 
Q
, então 
P
” é denominada recíproca da pri-
meira. Uma observação relevante é que existem proposições válidas cuja recíproca não o é.
Suponhamos, por exemplo, a proposição: “Em um plano, se 
r
1
, 
r
2
 e 
r
3
 são retas distintas e paralelas 
duas a duas, e se 
t
, 
u
 são retas que cortam 
r
1
, 
r
2
 e 
r
3
, então os segmentos correspondentes, determi-
nados pelas três paralelas nas retas 
t
 e 
u
 são proporcionais”. Essa é uma das versões do conhecido 
Teorema de Tales, que é demonstrado em muitos livros didáticos. A recíproca desse teorema é: “Em 
um plano, se três retas 
r
1
, 
r
2
 e 
r
3
  são cortadas por duas retas, 
t
 e 
u
, de maneira que os segmentos de-

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terminados pelas três retas nas retas 
t
 e 
u
  são proporcionais, então as três retas são paralelas, duas 
a duas”. Tal proposição é falsa. De fato, como contraexemplo dessa recíproca podemos considerar 
o vértice 
A
, oposto à base de um triângulo isósceles, e tomar para 
r
1
, 
r
2
 e 
r
3
   as retas que passam no 
ponto 
A
 e são determinadas pelos dois lados e pela altura desse triângulo. Essas retas não são para-
lelas, mas determinam, em quaisquer duas retas paralelas à base do triângulo, segmentos de mesmo 
comprimento e, portanto, de mesma razão, igual a 1.
Quando podemos demonstrar tanto a proposição “Se 
P
, então 
Q
” quanto a sua recíproca “Se 
Q
, então 
P
”, dizemos que as proposições 
P
 e 
Q
 são logicamente equivalentes. Na linguagem formal da Mate-
mática escrevemos: “
P
 se, e somente se, 
Q
”. No que se refere à teoria axiomática em jogo, podemos 
utilizar qualquer uma das duas proposições 
P
 ou 
Q
 nas deduções dessa teoria.
Na abordagem desse tema, o fato de que a proposição e sua recíproca são verdadeiras, não nos dispen-
sa de mencionarmos, para os estudantes, suas demonstrações. Por exemplo, tomemos a proposição: “Se 
uma matriz quadrada é invertível, então seu determinante é diferente de zero”. A prova dessa proposi-
ção é apresentada nos livros didáticos. Sua recíproca também é verdadeira: “Se o determinante de uma 
matriz quadrada é diferente de zero, então a matriz é invertível”. No entanto, por vezes, a demonstração 
dessa recíproca não é sequer mencionada. O que agrava essa omissão é que, em seguida, passa-se a 
empregar a proposição recíproca na resolução de problemas. Induz-se, dessa forma, à confusão entre 
uma proposição e sua recíproca, o que é prejudicial para a aquisição da argumentação matemática.
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