Mirzo ulug’bek nomidagi

VII. BOB. KVANT KRIPTOGRAFIYASI

1. 
   Kvant axborotlari nazariyasining asosiy tushunchalari
   

Axborotning kvant nazariyasi XX asrning eng muhim ikki nazariyasining kesishmasidir: Bular kvantmexanikasi va axborot nazariyasi. Kvantmexanika axborotni uzatish va qayta ishlashda ishtirok etish imkoniyatlari va holatlari bilan shug'ullanadi va ko'rib chiqadi. Ushbu nazariya XX asrning 60-yillarda kompyuter texnologiyasini tezkor rivojlantirishda paydo bo‘ldi, natijada hisoblash qurilmalari hajmining doimiy ravishda pasayib borishi muqarrar ravishda vaqtni axborot resursi sifatida yagona kvant holatidan foydalanishga majbur bo‘ladi. Bu yangi qiyinchiliklarni, birinchi navbatda kvant shovqinining kuchli ta’sirini anglatadi, bu hal qiluvchi omil deb hisoblandi. Biroq, ushbu hodisani batafsil o'rganish natijasida, kvant shovqinlari axborotni uzatish va qayta ishlashda yordam berishi mumkinligi aniqlandi: shunday qilib, hodisa bir zarrachaning kvantli "tarqalishi", ammo bir nechta kosmik nuqtalar aralashuvlar xususiyatiga ega, bu esa juda ko‘p holatlarda ishlatilishi mumkin. Kvant axborot nazariyasi yangi fan sifatida kvant fenomenlari bilan ishlaydi, ularning xususiyatlarini belgilaydi va ularni qo‘llaydigan texnologiyalarni o‘rganadi. Ayniqsa, kvant holatini qo‘llash, kvant kompyuterning g‘oyasi hisobiga hisoblash tezligini yangi darajaga olib chiqishi mumkin, shuningdek, kvant kriptografiyasida kalitlarning taqsimlanishining mutlaq maxfiyligini kafolatlaydi.
Ushbu bobda kelajakda kvant kriptografiya protokollari xususiyatlarini taqdim etishda foydalaniladigan kvant axborot nazariyasining asosiy tushunchalari va faktlari ko`rib chiqiladi.

2. Kvant holatlar

Boshlang‘ich zarralar bo‘yicha dastlabki tajribalar paytida, ularning harakatlari ayni paytda mavjud bo‘lgan jismoniy hodisalar g‘oyalari bilan murosaga kelishi juda qiyin bo‘lgan. Bu elementar zarrachalarning xatti-harakatini tasvirlaydigan yangi qonunlar shakllangach, fizikaning bu qismi kvant nazariyasi deb atala boshlandi va o‘sha paytda dunyodagi jismoniy rasmi - klassik edi.
To‘lqin funksiyasi va sof holatlar
Kvant nazariyasi va klassikasi o‘rtasida bir-biridan muhim farqlar mavjud va uning bunday asosiy farqlardan biri kvant zarrachasining ta’rifi va uning holati. Bunday zarrachaning ma’lum koordinatalari, o‘lchamlari va massasiga ega bo'lgan qismi kabi g'oyasi aslida noto'g'ri bo'lib chiqdi, chunki ba'zi bir zarralar uchun, aslida qayerda bo'lishidan qat'iy nazar, ularni tushunish mumkin emas edi. Lekin bunday zarralarning xatti-harakatlarini oldindan aytish mumkin edi. Shu bilan birga, bu xatti-xarakatlarni faqat tizimning barcha "an'anaviy" jismoniy xususiyatlarini hisoblashga urinishdan voz kechganidan keyin tushuntirish mumkin edi.Bu esa, har qanday elementar zarracha (yoki zarracha tizimi bir necha bo'lsa) ning "to'lqin funktsiyasi" deb atalishi - dunyoning kvant rasmidagi tubdan yangi narsa bo'lganligiga olib keldi. Avvalo sof kvant holatining tushunchasini tanishtiramiz. Bunday holat Gilbert tipidagi ℋ ning birligi normasi bilan vektordir. Vektorning normasi uning skalyar maydonining ildizidir:
^{|| ||}  H

Ushbu ish doirasida faqat son o'lchamli Gilbert bo'shliqlari hisobga olinadi va

skalyar mahsulotning mavjudligi ularning xususiyatlaridan eng muhimi bo'ladi. Shunday qilib, vektor uchun ^ , birlik normasining xususiyati shunga o'xshash
tarzda yozilishi mumkin^{ * 1}.
Yuqoridagi ta’rifni to‘lqin funksiyalarining an’anaviy shakllanishiga osonlik bilan bog‘lash mumkin: har bir to‘lqin funksiyasiga ko‘ra vektorga to‘g‘ri keladi, bu i-koordinatasi fazoda ^ _i -nuqtada zarralarni topish ehtimoli amplitudasiga teng. Shunday qilib, muammoning shartlariga eng mos bo‘lgan joyni topish muhim ahamiyatga ega.
Shtatning normallashuvi talabi, zarrachani aniqlashning umumiy ehtimoli birligini anglatadi. Holatlar va operatorlar uchun kvant axborot nazariyasida Dirak tomonidan kiritilgan yozuvdan foydalanish odatiy holdir. Holat ^ '^ ), va skalyar
^mahsulotda  ^{kabi ishlatiladigan holati  *. Keyin vektorlar (}  ^{) skalyar}
mahsuloti ( | ) sifatida yoziladi.Har bir sof kvant holatiga ^ muvofiq operatori ^ = zichlik operatori deb ataladi. Bu operator 1-darajaga ega, uning izi bir xil va u sof holatda proyektor vazifasini bajaradi ^ ).
Aralash holatlar
Zichlik operatorlari yordamida kvant holatining umumiy kontseptsiyasi kiritiladi. Qo'shma kvant holati bir nechta sof holatlarning statistik aralashmasidir

(ya’ni, mos keladigan ehtimolliklarga ega sof holatlar to‘plami):


^{pi  0 i} _ p_i  1