Mühazirə 1: Təqribi ədədlər. Xəta anlayışı

ƏDƏDI DIFERENSIALLAMA
Tutaq ki, f(x) funksiyası [a,b] parçasında x_i,y_i, (i=0,1,2,n) qiymətləri ilə cədvəl şəklində verilib. [a,b] parçasında funksiyanın törəməsi üçün təqribi analitik ifadə tapmaq tələb olunur. Bu halda. yəni funksiyanın törəməsi üçün analitik ifadə məlum olduqda cədvəldə olan x_i (i=0,1,2....,n) və cədvəldə olmayan nöqtəsində funksiyanın törəməsini hesablamaq olar. Məlumdur ki, y=f(x) funksiyasını
f(x) = φ(x) + R(x) (16)
şəklində göstərmək olar. Burada φ(x) interpolyasiya çoxhədlisi, R(x) isə interpolyasiya düsturunun xətasıdır. (16)-nın hər tərəfini m tərtib törəməsini tapaq.

Funksiyanın m-ci tərtib törəməsi əvəzinə interpolyasiya funksiyasının m-ci tərtib törəməsini götürək və fərz edək ki, R(x) funksiyası çox kiçikdir. Yüksək tərtib törəmələr hesablanarkən nəzərə almaq lazımdır ki, R(x) fiınksiyası çox kiçik olduqda belə, onun yüksək tərtib törəməsi kiçik olmaya bilər. φ(x) interpolyasiya funksiyası əvəzinə Laqranjın və Nyutonun interpolyasiya çoxhədlilərindən istifadə edək.
I. φ(x) funksiyası kimi, düyün nöqtələri ixtiyari olduqda Nyutonun interpolyasiya çoxhədlisini götürək.



Qalıq həddin törəməsini qiymətləndirək.

Eyni qayda ilə y=f(x) funksiyasının 2-ci, 3-cü, tərtib törəmələri hesablana bilər.
II. Əgər törəmənin hesablandığı nöqtə [a,b] parçasının əvvəlində yerləşərsə, Nyutonun 1-ci interpolyasiya düsturundan istifadə daha əlverişlidir.


olduğunu nəzərə alaq.

Funksiyanın törəməsini düyün nöqtələrində hesabladıqda bu düsturlar daha da sadələşər (q=0).

III. Törəmənin qiyməti hesablanan nöqtə [a,b] parçasının sonunda yerləşərsə, Nyutonun 2-ci interpolyasiya düsturundan istifadə daha əlverişlidir.


IV. Laqranjın interpolyasiya çoxhədlisindən istifadə edərək, funksiyanın törəməsi üçün analitik ifadəni yazaq:

dx=hdq olduğunu nəzərə alaq:

Törəmənin x=x_i nöqtəsində xətası aşağıdakı düsturla müəyyən olunur:

n=2 olduqda funksiyanın törəməsi və törəmənin xətası üçün ifadələri yazaq:

Eyni qayda ilə ikinci, üçüncü və daha yüksək tərtib törəmələr və onların xətaları qiymətləndirilə bilər.