O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti mustaqil ish mavzu: Runge-Kutta usullari. Sistemalarni integrallash. Bajardi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA
MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

FARG’ONA DAVLAT UNIVERSITETI

MUSTAQIL ISH
Mavzu: Runge-Kutta usullari. Sistemalarni integrallash.
Bajardi: 4-kurs 19/124-guruh talabasi:
Ismoilova Ismigul
Qabul qildi: A. Ismoilov
Farg’ona shaxar 2023 yil
Reja:

1. 
   Runge-Kutta usullari haqida umumiy tushunchalar.
   
2. 
   Sistemalarni integrallash.
   

1. Runge-Kutta usullari haqida umumiy tushunchalar.

Runge–Kutta usuli — oddiy differensial tenglamalar va tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini yechishda qoʻllaniladigan sonli usullar toʻplami. Ilk marta 1900-yili nemis matematiklari Carl Runge va Wilhelm Kutta tomonidan taklif qilingan. Runge–Kutta usullari toʻplamiga Eylerning oshkor usuli va Eylerning modifikatsiyalangan usullari kiradi.
O‘rganish usullar mos holda birinchi va ikkinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar hisoblanadi. Bundan tashqari uchinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan standart oshkor usullar ham mavjud, biroq ular keng tarqalmagan. Koʻplab matematik paketlar (Maple, MathCAD, Maxima) da toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan klassik Runge–Kutta usuli qoʻllaniladi. Yuqori aniqlikdagi hisob-kitoblar zarur boʻlganda beshinchi va oltinchi tartibli aniqlikka ega boʻgan usullardan foydalaniladi. Aniqlik tartibi ortib borgani sari ushbu usulda hisoblash sxemasi ham murakkablashib boradi. Yettinchi tartibli usullar kamida toʻqqiz bosqichdan iborat boʻadi, sakkizinchi tartibli usullar esa kamida 11 bosqichdan iborat. Toʻqqizinchi va undan yuqori tartibli aniqlikka ega boʻlgan usullar (umuman olganda, ular amaliyotda deyarli ishlatilmaydi) qancha bosqichdan iborat boʻlishi maʼlum emas.
Toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega boʻlgan Runge–Kutta usuli juda koʻp qoʻllanilgani tufayli baʼzida uni shunchaki Runge– Kutta usuli deb ataladi. Ushbu metodda integrallash qadami doimiy boʻladi. Toʻrtinchi tartibli klassik Runge–Kutta usuli Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi ni koʻrib chiqamiz. (Bundan keyingi oʻrinlarda y, f, ki )
(1.1)
U holda ushbu tenglamaning yaqinlashgan (taxminiy) yechimi quyidagi iteratsion formula yordamida hisoblanadi:
(1.2)
Yangi qiymatni hisoblash esa quyidagi to`rt bosqichda amalga oshiriladi:




Bu yerda h-to`r qadamning x bo`yicha kattaligi.
Ushbu usul toʻrtinchi tartibli aniqlikka ega. Demak, bitta hisoblash qadamidagi xatolik O( ) tartibida boʻladi. Oxirgi intervaldagi yigʻindi xatolik esa O( ) tartibida.