O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti mustaqil ish mavzu: Runge-Kutta usullari. Sistemalarni integrallash. Bajardi

Misol 1.
_{ }
1) Mos bir jinsli sistemaning umumiy yechimini topshdan boshlaymiz. Bunda
_{ } deb hisoblaymiz. Bir jinsli differensial tenglamaning koeffitsiyentlar matrisasini tuzamiz:

2) Sistemaning xarakteristik tenglamasi
_{ 
 } .
koʻrinishda boʻlib, uning ildizlarini topamiz.
3)Xususiy yechimlarni:
_{ }- ixtiyoriy konstantalar
_{ }-larni topish kerak, buning uchun quyidagicha sistemani yechamiz:
4) _{ } boʻlganda xarakteristik tenglama determinantiga qoʻyib, uning sonlaridan quyidagicha ikkita oʻzgaruvchili chiziqli tenglamalar sistemasini quramiz va undan _{ }- larni topamiz:

_{ } boʻlganda boʻlganda xarakteristik tenglama determinantiga qoʻyib, uning sonlaridan quyidagicha ikkita oʻzgaruvchili chiziqli tenglamalar sistemasini quramiz va undan _{ }- larni topamiz:

Shunday qilib bir jinsli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimi
_{ }- ixtiyoriy konstantalar
koʻrinishda boʻlib, bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamalar sistemasining xususiy yechimini topish uchun esa oʻzgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan topamiz. Buning uchun _{ }-larni t ga bogʻliq funksiyalar sifatida qarab
_{ } (6)
Ushbu yechimni berilgan differensial tenglamalar sistemasiga qoʻyamiz. Natijada _{ } – larning hosilalaridan iborat boʻlgan quyidagicha sistemaga kelamiz:


_{ } (7)
_{ } larni topish uchun (5) Kramer formulalaridan foydalanamiz, bunda
_{ } ekanligini eʼtiborga olamiz, u holda
_{ 
 
 
 } ; _{ }
boʻladi, tengliklarni integrallasak
_{ } , _{ } .
Ushbu ifodalarni (6) formulaga qoʻyamiz
_{ }(_{ 
 }(_{ } .
Shunday qilib bir jinsli boʻlmagan sistemaning umumiy yechimi quyidagicha koʻrinishni oladi:
_{ 
 }
Oʻquvchiga oʻrniga qoʻyish orqali topilgan yechimni toʻgʻriligini tekshirib koʻrishni mustaqil bajarishni taklif qilamiz.