O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti mustaqil ish mavzu: Runge-Kutta usullari. Sistemalarni integrallash. Bajardi

O’zgarmas koeffitsientli chiziqli differentsial tenglamalar sistemasi. Faraz qilaylik, bizga quyidagi
(7)
sistema berilgan bo’lsin, bu yerda barcha koeffitsientlar o’zgarmas.
Bu sistemani
matritsa ko’rinishida ham yozish mumkin, bu yerda

Berilgan (7) sistemaning yechimini

ko’rinishda izlaymiz. Agar bularni sistemaning tenglamalariga qo’yib, o’xshash hadlarni ixchamlasak, noma’lum koeffitsientlarga nisbatan quyidagi chiziqli bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
(8)
Ma’lumki, bunday sistema hamisha birgalikda, masalan, hech bo’lmaganda nol yechimi mavjud. (8) sistema noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun uning determinanti nolga teng bo’lishi zarur va etarlidir:

Bu  ga nisbatan n-darajali algebraik tenglama. Uni A matritsaning va shu vaqtning o’zida (7) sistemaning ham xarakteristik tenglamasi deb ataymiz.
Ma’lumki, bunday tenglama n ta ildizlarga ega. Ular A matritsaning xos sonlari bo’ladi. Har bir xos songa biror xos vektor mos keladi.
Bu yerda uch hol yuz berishi mumkin.
1-hol. Barcha xos sonlar har xil: va haqiqiy. U holda, (7) sistema n ta yechimga ega:
uchun:
uchun:

uchun:
Biz fundamental yechimlar sistemasini topdik. Umumiy yechim




ko’rinishda bo’ladi.
5 - m i s o l. sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Sistemaning xarakteristik tenglamasini tuzib olaylik:
yoki .
Uning ildizlari sistemaning matritsasini xos sonlaridir. ga mos keluvchi xos vektorni topish uchun

sistemani tuzib olamiz. Bu bitta tenglamaga ekvivalent. Bundan (1;-2) vektorni aniqlaymiz.
Agar  o’rniga ni qo’ysak, quyidagi sistema hosil bo’ladi:

Bundan (1;1) vektor aniqlanadi.
U holda fundamental yechimlar: da ; da , umumiy yechim esa

bo’ladi.
2-hol. Xos sonlar har xil, lekin ularning ayrimlari kompleks.
Umumiylikni buzmagan holda bu kompleks ildizlar bo’lsin, deb faraz qilaylik. Bu ildizlarga

yechimlar mos keladi.
Aynan 10-§ ning 3-holiga o’xshagan mulohazalar bilan kompleks yechimning haqiqiy va mavhum qismlari ham yechim bo’lishini ko’rsatish mumkin. Shu sababli, larga mos keladigan xu- susiy yechimlar sifatida

funktsiyalarni olish mumkin, bu yerda lar lar orqali aniqlanadigan haqiqiy sonlar. Sistemaning umumiy yechimiga shu funktsiyalarning mos kombinatsiyalari kiradi.
6 - m i s o l. sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Avval xarakteristik tenglamani tuzib olamiz:
yoki .
Uning ildizlari: Birinchi xos songa mos keluvchi xos vektor (1; 1+i), ikkinchi xos songa mos keluvchi xos vektor (1; 1-i). U holda bu xos son va xos vektorlarga mos keluvchi berilgan sistemaning yechimlari quyidagicha:


yoki agar ularning haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib yozsak:


funktsiyalarni xususiy yechim sifatida olish mumkin. Demak, umumiy yechim


bo’ladi.
3-hol. Xos sonlarning ayrimlari haqiqiy va karrali.
Umumiylikni buzmagan holda, xos son haqiqiy va m karrali bo’lsin, deb faraz qilamiz. Unga mos keluvchi sistemaning echimi
(9)
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda lar darajalari m-1 dan katta bo’lmagan ko’phadlar. Agar (9) ni (7) ga qo’yib, t larning bir xil darajali hadlari oldidagi koeffitsientlarni tenglasak, bu ko’phadlarning noma’lum koeffitsientlarini topish uchun chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Buning bajarilish tartibini quyidagi misolda ko’rib chiqaylik.
7 - m i s o l. sistemaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Avval xarakteristik tenglamani yechib olamiz:

xos songa
yechimlar mos keladi. Ularni t bo’yicha differentsiallab, sistemaga qo’yamiz:


Agar bu tengliklarning har birini ga qisqartirib, t ning oldidagi koeffitsientlarni va ozod hadlarni tenglasak:

sistemalarni hosil qilamiz. Bundan kelib chiqadi. Agar desak, bo’ladi, shuning uchun sistemaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:

2.Bir jinsli boʻlmagan chiziqli oʻzgarmas koeffitsiyentli differensial tenglamalar sistemasini oʻzgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish

Usulning gʻoyasi va amalga oshirilishini ikkita oʻzgaruvchili ikkita tenglama uchun koʻrib chiqamiz. Amaliy masalalarda juda koʻp uchraydigan bir jinsli boʻlmagan differensial tenglamalar sistemasi quyidagicha koʻrinishda boʻladi:

_{ } (1)
Birinchi navbatda koʻrib chiqilgan usullar asosida bir jinsli hol uchun xususiy yechimlarni topamiz
_{ } (2)
Bunda _{ }–ixtiyoriy oʻzgarmaslar. Bir jinsli boʻlmagan sistemani xususiy yechimini topish uchun (2) formulalardan foydalanamiz, faqatgina _{ } lar _{ } ning funksiyalari deb faraz qilamiz.
_{ } (3)
Agar (3) ni differensiallab, (1) ga olib borib qoʻysak, va (2) funksiyalar bir jinsli sistemaning yechimi ekanligini hisobga olsak, u holda _{ } nomaʼlum funksiyalarni topish uchun quyidagicha sistemaga ega boʻlamiz:
_{ } (4)
Kramer usuliga koʻra (4) sistemadan quyidagilarni olamiz:
_{     }
Demak sistemaning yechimi:
_{ } (5)
boʻladi. Ushbu tengliklarni integrallab _{ } larni topib olamiz. Ularni (3) formulalarga qoʻyib xususiy yechimlarni topamiz. Ushbu jarayon nazariy jihatdan yetarlicha shaffof boʻlsada, amaliy tadbiq qilinganda juda koʻp mehnatni va xushyorlikni talab qiladi. Bunga misollar ishlab ishonch hosil qilish mumkin.