O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti mustaqil ish mavzu: Runge-Kutta usullari. Sistemalarni integrallash. Bajardi

Runge – Kutta usuli
Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani x_i+1 dagi qiymatini topish uchun uning x_i dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.
Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:
(2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.
“x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u^’=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.
K₁⁽⁰⁾ ni 1 ga, K₂⁽⁰⁾ va K₃⁽⁰⁾ larni 2 ga, K₄⁽⁰⁾ ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
I-IV jarayonni Kⁱ ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va  u=(1/6) (K₁⁽ⁱ⁾+2 K₂⁽ⁱ⁾+2 K₃⁽ⁱ⁾+ K₄⁽ⁱ⁾) ni topamiz. Va nihoyat y_i+1=y_i+  y_i topiladi. Yuqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz. 

1-Jadval

X U u’=f(x,y) K=hf(x,y) u 2 3 4 5 6 x0 y0 f(x0 ,y0) K1^(0) K1^(0) x0+h/2 y0+K1^(0)/2 f(x0+h/2; y0+K1^(0)/2) K2^(0) 2K2^(0) x0+h/2 y0+K2^(0)/2 f(x0+h/2; y0+K2^(0)/2) K3^(0) 2K3^(0) x0+h y0+K3^(0) f(x0+h; y0+K3^(0)) K4^(0) K4^(0) x1 y1=y0+ y0 f(x1 ,y1) K1^(0) K1^(0) x1+h/2 y1+K1^(1)/2 f(x1+h/2; y1+K1^(1)/2) K2^(0) 2K2^(0) x1+h/2 y1+K2^(1)/2 f(x1+h/2; y1+K2^(1)/2) K3^(0) 2K3^(0) x1+h y1+K3^(1) f(x1+h; y1+K3^(1)) K4^(0) K4^(0) x2 y2=y1+ y1

Misol. Runge-Kutta usuli yordamida quyidagi differensial tenglamaga qo’yilgan boshlang’ich masalaning 

y^’=  , u(1)=0 yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin. 

Yechish. Yechimlar va xisobiy qiymatlar 2-jadvalda keltirilgan.

2-Jadval

i xi yi f(xi, yi) K=hf(xi, yi) y1 0 1 1,05 1,05 1,1 0 0,05 0,057262 0,115907 1 1,145238 1,159071 1,310740 0,1 0,114524 0,115907 0,131074 0,1 0,229048 0,231814 0,131074 0,115323 1 1,1 1,15 1,15 1,20 0,115323 0,180807 0,188546 0,263114 1,309678 1,464447 1,477905 1,638523 0,130968 0,146445 0,147791 0,163852 0,130968 0,292889 0,295581 0,163852 0,147215 2 1,2 1,25 1,25 1,3 0,262538 0,344416 0,352591 0,443953 1,637563 1,801066 1,814146 1,983005 0,163756 0,180107 0,181415 0,198301 0,163756 0,360213 0,362829 0,198301 0,180805 3 1,3 1,35 1,35 1,4 0,443388 0,524495 0,551073 0,660028 1,982135 2,153696 2,166404 2,342897 0,198214 0,215370 0,216640 0,234290 0,198214 0,430739 0,443281 0,234290 0,216087 4 1,4 1,45 1,45 1,50 0,659475 0,776580 0,785532 0,912824 2,342107 2,521146 2,533493 2,717099 0,234211 0,252115 0,253349 0,271710 0,234211 0,504229 0,506700 0,271711 0,252808 5 1,5 0,912283

2. 
   Sistemalarni integrallash.
   

Quyidagi
(1)
sistema normal sistema, deb ataladi.
Kuzatilayotgan yoki tadqiqot qilinayotgan ayrim jarayonlar modeli (1) ko’rinishdagi tenglamalar sistemasidan iborat bo’ladi.
1 - m i s o l. A modda P va Q moddalarga parchalansin. Ularning har birini hosil bo’lish tezligi A moddaning parchalanmagan qismiga proportsional bo’lsin. Agar P va Q moddalarning t momentdagi miqdorlarini mos ravishda va desak, u holda A moddaning t momentdagi miqdori bo’ladi. Masala shartiga ko’ra bu miqdor va miqdorlarning hosilalariga proportsional, ya’ni

2 - m i s o l. Biologiyadan ma’lumki, ayrim bakteriyalar ko’pa- yishdan tashqari o’zining miqdorini kamaytirib turuvchi zahar ham ishlab chiqaradi. Faraz qilaylik, bakteriyaning miqdori N o’zining ko’payish tezligi ga va zahar ishlab chiqarish tezligi ga proportsional bo’lsin, bu yerda zahar miqdori. U holda quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:

(1) sistemani integrallash deganda, (1) ni va quyidagi berilgan
, (2)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi noma’lum funktsiyalarni topishni tushunamiz.
Bunday sistemalarni integrallash uning ko’rinishiga qarab, har xil usullar bilan bajarilishi mumkin. Shulardan bir nechtasini ko’rib chiqamiz.
(1) ning birinchi tenglamasini bo’yicha differentsiallaylik:

Tenglikning o’ng tarafidagi , , hosilalarni (1) dan lar orqali ifodalari bilan almashtiramiz, natijada quyidagi tenglama hosil bo’ladi:

Bu tenglamani differentsiallab, aynan yuqoridagidek almashtirishlar bajarsak:

tenglama hosil bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirib, nihoyat

tenglamaga kelamiz. Endi hosil bo’lgan tenglamalardan quyidagi sistemani tuzib olaylik:
(3)
Bu sistemaning dastlabki ta tenglamasidan larni lar orqali ifodalab:
(4)
sistemaning oxirgi tenglamasiga olib borib qo’yamiz:
(5)
Bu tenglamadan ni topamiz: (6)
Oxirgi tenglikni marotaba differentsiallab, (4) ga qo’ysak, qolgan noma’lumlar ham topiladi:

Agar (2) boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa, mos koef- fitsientlarni topish xuddi bitta tenglama uchun bajarilgandek amalga oshiriladi.
Agar (1) ning o’ng tarafidagi funktsiyalar o’z o’zgaruvchilariga nisbatan chiziqli bo’lsa, u holda sistemani chiziqli normal sistema deb ataymiz. Chiziqli normal sistemaga mos keluvchi (5) tenglama ham chiziqli bo’ladi.
3-m i s o l. tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Birinchi tenglamani bo’yicha differentsiallaymiz:

va undan , larni yo’qotamiz. Shu bilan tenglama
ko’rinishga keladi. Buning xarakteristik tenglamasi il- dizlarga ega. Shuning uchun uning umumiy yechimi
bo’ladi. z ni topish uchun bu yechimni sistemaning birinchi teng-lamasiga qo’yamiz:

Eslatma. Ayrim hollarda sistemaning tenglamalari ustida bir nechta almashtirishlar bajarib, yechimni topishga olib keladigan osongina integrallanadigan tenglama hosil qilish mumkin. Bu usulni integrallovchi kombinatsiyalar usuli, deb atashadi.
4 -m i s o l. tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Avval birinchi integrallovchi kombinatsiyani tuzib olamiz. Buning uchun birinchi tenglamani ikkinchisiga bo’lamiz:
yoki
Ikkinchi integrallovchi kombinatsiyani tuzish uchun birinchi tenglamani 2 ga va ikkinchi tenglamani 3 ga ko’paytirib, o’zaro qo’shamiz:
yoki
Hosil bo’lgan tenglamalardan sistema tuzib olib, umumiy yechimni topamiz: