O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti mustaqil ish mavzu: Runge-Kutta usullari. Sistemalarni integrallash. Bajardi



Yüklə 2,36 Mb.
səhifə2/5
tarix22.05.2023
ölçüsü2,36 Mb.
#111963
1   2   3   4   5
Ismoilova Runge-kutta usullari

Runge – Kutta usuli
Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani xi+1 dagi qiymatini topish uchun uning xi dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.
Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:
(2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.
x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.
K1(0) ni 1 ga, K2(0) va K3(0) larni 2 ga, K4(0) ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
I-IV jarayonni Ki ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va  u=(1/6) (K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)ni topamiz. Va nihoyat yi+1=yi+  ytopiladi. Yuqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz. 

1-Jadval





X


U


u’=f(x,y)


K=hf(x,y)


u


2

3

4

5

6





x0


y0


f(x,y0)


K1(0)


K1(0)




x0+h/2


y0+K1(0)/2


f(x0+h/2; y0+K1(0)/2)


K2(0)


2K2(0)




x0+h/2


y0+K2(0)/2


f(x0+h/2; y0+K2(0)/2)


K3(0)


2K3(0)




x0+h


y0+K3(0)


f(x0+h; y0+K3(0))


K4(0)


K4(0)

















x1


y1=y0+ y0


f(x,y1)


K1(0)


K1(0)




x1+h/2


y1+K1(1)/2


f(x1+h/2; y1+K1(1)/2)


K2(0)


2K2(0)




x1+h/2


y1+K2(1)/2


f(x1+h/2; y1+K2(1)/2)


K3(0)


2K3(0)




x1+h


y1+K3(1)


f(x1+h; y1+K3(1))


K4(0)


K4(0)

















x2


y2=y1+ y1










Misol. Runge-Kutta usuli yordamida quyidagi differensial tenglamaga qo’yilgan boshlang’ich masalaning 



y=  , u(1)=0 yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin. 

Yechish. Yechimlar va xisobiy qiymatlar 2-jadvalda keltirilgan.

2-Jadval



i


xi


yi


f(xi, yi)


K=hf(xi, yi)


y1



0

1

1,05


1,05

1,1

0

0,05


0,057262

0,115907

1

1,145238


1,159071

1,310740

0,1

0,114524


0,115907

0,131074

0,1

0,229048


0,231814

0,131074











0,115323

1

1,1


1,15

1,15


1,20

0,115323


0,180807

0,188546


0,263114

1,309678


1,464447

1,477905


1,638523

0,130968


0,146445

0,147791


0,163852

0,130968


0,292889

0,295581


0,163852










0,147215

2

1,2


1,25

1,25


1,3

0,262538


0,344416

0,352591


0,443953

1,637563


1,801066

1,814146


1,983005

0,163756


0,180107

0,181415


0,198301

0,163756


0,360213

0,362829


0,198301










0,180805

3

1,3


1,35

1,35


1,4

0,443388


0,524495

0,551073


0,660028

1,982135


2,153696

2,166404


2,342897

0,198214


0,215370

0,216640


0,234290

0,198214


0,430739

0,443281


0,234290










0,216087

4

1,4


1,45

1,45


1,50

0,659475


0,776580

0,785532


0,912824

2,342107


2,521146

2,533493


2,717099

0,234211


0,252115

0,253349


0,271710

0,234211


0,504229

0,506700


0,271711










0,252808

5

1,5



0,912283













  1. Sistemalarni integrallash.

Quyidagi
(1)
sistema normal sistema, deb ataladi.
Kuzatilayotgan yoki tadqiqot qilinayotgan ayrim jarayonlar modeli (1) ko’rinishdagi tenglamalar sistemasidan iborat bo’ladi.
1 - m i s o l. A modda P va Q moddalarga parchalansin. Ularning har birini hosil bo’lish tezligi A moddaning parchalanmagan qismiga proportsional bo’lsin. Agar P va Q moddalarning t momentdagi miqdorlarini mos ravishda va desak, u holda A moddaning t momentdagi miqdori bo’ladi. Masala shartiga ko’ra bu miqdor va miqdorlarning hosilalariga proportsional, ya’ni

2 - m i s o l. Biologiyadan ma’lumki, ayrim bakteriyalar ko’pa- yishdan tashqari o’zining miqdorini kamaytirib turuvchi zahar ham ishlab chiqaradi. Faraz qilaylik, bakteriyaning miqdori N o’zining ko’payish tezligi ga va zahar ishlab chiqarish tezligi ga proportsional bo’lsin, bu yerda zahar miqdori. U holda quyidagi sistemaga ega bo’lamiz:

(1) sistemani integrallash deganda, (1) ni va quyidagi berilgan
, (2)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi noma’lum funktsiyalarni topishni tushunamiz.
Bunday sistemalarni integrallash uning ko’rinishiga qarab, har xil usullar bilan bajarilishi mumkin. Shulardan bir nechtasini ko’rib chiqamiz.
(1) ning birinchi tenglamasini bo’yicha differentsiallaylik:

Tenglikning o’ng tarafidagi , , hosilalarni (1) dan lar orqali ifodalari bilan almashtiramiz, natijada quyidagi tenglama hosil bo’ladi:

Bu tenglamani differentsiallab, aynan yuqoridagidek almashtirishlar bajarsak:

tenglama hosil bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirib, nihoyat

tenglamaga kelamiz. Endi hosil bo’lgan tenglamalardan quyidagi sistemani tuzib olaylik:
(3)
Bu sistemaning dastlabki ta tenglamasidan larni lar orqali ifodalab:
(4)
sistemaning oxirgi tenglamasiga olib borib qo’yamiz:
(5)
Bu tenglamadan ni topamiz: (6)
Oxirgi tenglikni marotaba differentsiallab, (4) ga qo’ysak, qolgan noma’lumlar ham topiladi:

Agar (2) boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa, mos koef- fitsientlarni topish xuddi bitta tenglama uchun bajarilgandek amalga oshiriladi.
Agar (1) ning o’ng tarafidagi funktsiyalar o’z o’zgaruvchilariga nisbatan chiziqli bo’lsa, u holda sistemani chiziqli normal sistema deb ataymiz. Chiziqli normal sistemaga mos keluvchi (5) tenglama ham chiziqli bo’ladi.
3-m i s o l. tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Birinchi tenglamani bo’yicha differentsiallaymiz:

va undan , larni yo’qotamiz. Shu bilan tenglama
ko’rinishga keladi. Buning xarakteristik tenglamasi il- dizlarga ega. Shuning uchun uning umumiy yechimi
bo’ladi. z ni topish uchun bu yechimni sistemaning birinchi teng-lamasiga qo’yamiz:

Eslatma. Ayrim hollarda sistemaning tenglamalari ustida bir nechta almashtirishlar bajarib, yechimni topishga olib keladigan osongina integrallanadigan tenglama hosil qilish mumkin. Bu usulni integrallovchi kombinatsiyalar usuli, deb atashadi.
4 -m i s o l. tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Avval birinchi integrallovchi kombinatsiyani tuzib olamiz. Buning uchun birinchi tenglamani ikkinchisiga bo’lamiz:
yoki
Ikkinchi integrallovchi kombinatsiyani tuzish uchun birinchi tenglamani 2 ga va ikkinchi tenglamani 3 ga ko’paytirib, o’zaro qo’shamiz:
yoki
Hosil bo’lgan tenglamalardan sistema tuzib olib, umumiy yechimni topamiz:


Yüklə 2,36 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə