Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar”

1-chegaraviy masala . (2.1) tenglamaning quyidagi


, , (2.7)
, , (2.8)
, (2.9)
,
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. Bu yerda , berilgan funksiyalar bo‘lib,
, (2.10)
(2.1), (2.7)-(2.9) shartlarda quyidagi
, (2.11)
almashtirishni bajarsak, u holda
(2.12)
ko‘rinishdagi tenglama va
, , (2.13)
, , (2.14)
, , (2.15)
, chegaraviy shartlar hosil bo‘ladi, bu yerda
, ,

, .

D_­0 - soha almashtirish natijasida sohaga o‘tadi.

Ushbu funksiya [9]


(2.16)


sohada (2.12) tenglama uchun (2.13)-(2.15) shartli masalaning Grin funksiyasidan iborat. Bu yerda

-birinchi tur Bessel funksiyasi [6], – sonlar esa tenglamaning musbat ildizlari.
Grin funksiyasi quyidagi xossalarga ega:
1º. funksiya ning funksiyasi sifatida (2.12) tenglamani qanoatlantiradi:
;
2º. o‘zgaruvchilar bo‘yicha (2.12) ga qo‘shma tenglamani qanoatlantiradi:
;
3º. Har qanday va uchun ushbu tenglik o‘rinli:


(2.17)
(2.12) tenglmaning (2.13)-(2.15) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish uchun sohada ushbu

Grin formulasini qo‘llaymiz. Bu yerda va s=0 to‘g’ri chiziqlarning va kesmalari bilan chegaralangan soha.
Ushbu

ifodani soha bo‘yicha integrallaymiz:

yoki



Shunday qilib,


(2.18)

tenglikni oldik. Bunga Grin formulasini qo‘llasak,

(2.19)
hosil bo‘ladi. Endi 1) va da bo‘lgani uchun

bo‘lib,
,

,

Chunki, (2.16) ga ko‘ra

bo‘lib,



.

2) va da bo‘lgani uchun

Shunday qilib, (2.19) dan

0

.

Oxirgi tenglikdan da limitga o‘tamiz va (2.17) ga ko‘ra quyidagini olamiz

(2.20)
Bu yerda




Endi (2.20) dan (2.11) ga ko‘ra, (2.1) tenglama uchun (2.13)-(2.15) shartli chegraviy masalaning yechimini olamiz:
+ (2.21)
bu yerda
, ,



- (2.1) tenglama uchun 1-chegaraviy masalaning Grin funksiyasi.