Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar”

Teorema1(Protter).Quyidagi shartlar bajarilsin:
1) funksiya yopiq sohada ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega;
2) uzluksiz va monoton o‘suvchi funksiya bo‘lib,
3 va uzluksiz va da bo‘yicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz xususiy hosilalarga ega;
4) ushbu shart o‘rinli
(1.51)
U holda sohada (1.49) tenglamaning (1.50) boshlangich shrtlarni qanoatlantiruvchi yagona regulyar yechimi mavjud, bu yerda berilgan funksiyalar Lipshits shartini qanoatantiruvchi,uchinchi tartibgacha hosilalarga ega.
(1.49),(1.50) Koshi masalasi korrekt qo‘yilgan.
Quyida keltiriladigan misol ko‘rsatadiki, (1.49) tenglama uchun parabolic chizig’ida berilgan boshlang’ich shartli Koshi masalasini korrektligi uchun (1.51) shart zaruriy shartdir.
Quyidagi tenglamani qaraymiz
(1.52)
bu yerda - haqiqiy o‘zgarmas. Ko‘rish qiyin emaski, (1.51) shart bajarilmaydi. Ko‘rsatamizki, da (1.52) tenglama uchun (1.50) boshlangich shartli Koshi masalasi korrekt qo‘yilgan.
Quyidagi

xarakteristik koordinatalar yordamida (1.52) tenglama Eyler-Darbu tenglmaga keltiriladi:

(1.53)

bu yerda

Agar u holda va (1.53) tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi [11]:


bu yerda va - ixtiyoriy funksiyalar, bu yerdan eski o‘zgaruvchilarga qaytib, (1.5) tenglamaning yechimini olamiz:



(1.54)

(1.50) boshlang’ich shartlarni qo‘llab, quyidagini topamiz

(1.55)
(1.55) ifodani (1.54) ga qo‘yib, Koshi masalasining izlangan yechimini olamiz:



(1.56)
(1.56) yechim yagona, bunga Riman usulini qo‘llab, ishonch hosil qilish qiyin emas. Ravshanki, (1.56) yechim (1.50) boshlang’ich shartlarga uzluksiz bog’liq.
holda (1.52) tenglamaning yechimi quyidagi ko‘rinishga ega




bu yerdan (1.50) boshlang’ich shartlarni qo‘llab, quyidagini olamiz


holda shunga o‘xshash topamizki, ushbu

funksiya (1.52) tenglamaning (1.50) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yagona yechimi bo‘ladi.

Ushbu
(1.57)
tenglama uchun (1.4) shart nisbatan ancha soda ko‘rinishni oladi
(1.58)
da (1.57) tenglama uchun (1.50) boshlang’ich shartli Koshi masalasi korrekt qo‘yilgan, chunki, (1.58) shart ixtiyoriy chegaralangan funksiya uchun bajariladi.
da va (1.58) shart bajarilmaganda Koshi masalasiumuman korrekt bo‘lmasligi mumkin.
Agar

- kattalik chegaralangan va agar (1.57) tenglamaning koeffitsiyentlari, o‘ng tomoni va boshlang’ich shartlar va bo‘yicha yetarli marta differensiallanuvchi ( ga bog’liq ravishda )bo‘lsa, u holda (1.57), (1.50) Koshi masalasi korrekt qo‘yilgan bo‘ladi.
Masalan, quyidagi tenglamani qaraymiz
(1.59)
bu yerda butun son).(1.59) tenglamaning ushbu
(1.60)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi

ko‘rinishga ega. Bu formula kattalik va (1.60) boshlang’ich berilganlarning silliqligi orasidagi bog’lanishni ko‘rsatadi.