Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar”

1.3-§. Eyler – Darbu tenglamasi va uning asosiy xossalari
Quyidagi tenglama
_(1.61)
Eyler-Darbu tenglamasi deyiladi, bu yerda - haqiqiy sonlar. Ushbu formula
(1.62)
bo‘yicha yangi funksiyani kiritamiz. (1) tenglamada qatnashayotgan hosilalarni hisoblaymiz:



(1.63)
(1.63) hisoblangan hosilalarni (1.61) tenglamaga qo‘yamiz:



,





yoki



Bu yerdan


yoki

Shunday qilib, yuqorodagi tenglikdan (1.63) tenglama kelib chiqadi.
orqali (1.61) tenglamaning ixtiyoriy yechimini belgilaylik. U holda (1.62) formuladan (1.63) ni hisobga olgan holda, quyidagiga ega bo‘lamiz:
(1.64)
Eyler-Darbu tenglamasining ba’zi xossalarini keltiramiz.
(1.61) tenglamaning bir jinsli yechimlari gipergeometrik funksiyalar orqali ifodalanadi.
Haqiqatan ham, (1.61) tenglikda ushbu
<sub>(1.65)
almashtirishni bajaramiz. U holda



Bularni (1.61) tenglamaga o‘rniga qo‘yamiz:</sub>

yoki

(1.65) ga ko‘ra


Shunday qilib, (1.65) almashtirish yordamida (1.61) tenglama (1’) ko‘rinishdagi yani 2-tartibli oddiy differensial tenglamaga keltirildi. Bu tenglama parametrli Gauss tenglamasi bo‘lib, t=0 nuqta atrofida ikkita chiziqli bog’liqsiz yechimlarga ega:


U holda (1.65) ga asosan (1.61) tenglama ixtiyoriy tartibli bir jinsli yechimlarga ega:


Shuni takidlash kerakki, agar -butun musbat son bo‘lsa, u holda (1.61) tenglamaning birinchi yechimi tartibli bir jinsli ko‘phad bo‘ladi.
2⁰ Agar (1.61) tenglamaning ixtiyoriy yechimi bo‘lsa, u holda

funksiya yana (1.61) tenglamaning yechimi bo‘ladi, bu yerda a, b, c va d – ixtiyoriy o‘zgarmaslar bo‘lib, .
3⁰ .

tenglamaning ixtiyoriy yechimi bo‘lsin. U holda

lar mos ravishda

tenglamalarning yechimlari bo‘ladi, va umuman

funksiya

tenglamaning yechimi bo‘ladi. Yana (1.61) ga asosan, (1.68) formulani ushbu


ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerda , larni mos ravishda ga almashtirib quyidagini olamiz.

Bu tenglamaning yechimi bo‘ldi.
2⁰-xossani isboti. Belgilash kiritamiz:


bundan hosilalarni hisoblaymiz.











Yuqoridagilarni (1.61) ga olib borib qo‘ysak,





(1.70)
Bu yerdan

lar oldidagi koeffisientlarni soddalashtiramiz:















va nihoyat,


(1.71)-(1.74) larni hisobga olgan holda, (1.70) dan quyidagilarni hosil qilamiz:







Xossa shartiga ko‘ra, (1.61) tenglamani yechimi bo‘lgani uchun

bo‘ladi. Demak , (1.75) ga ko‘ra

bu yerda

Xossa isbotlandi.
I bob bo‘yicha xulosa
Ushbu bobda magistrlik dissertatsiyasi mavzusini yoritishda zarur bo‘lgan asosiy tushunchalar berilgan bo‘lib, ba’zi maxsus funksiyalar haqida ma’lumotlar hamda dissertatsiya mavzusi uchun muhim bo‘lgan xususiy hosilali tenglamalar, buziluvchan differensial tenglamalar bo‘yicha asosiy tushunchalar keltirilgan. Shi bilan birga Eyler – Darbu tenglamasi va uning asosiy xossalari o‘rganilgan.
Maxsus funksiyalar nazariyasidagi Eylerning 1- va 2- tur integrallari, Gaussning gipergeometrik funksiyasi va uning xossalarini o‘rganish aralash tipdagi tenglamalar uchun qo‘yilgan chegaraviy masalalarni tadqiq etishda muhim ro‘l o‘ynaydi. Shu sababli, mazkur bobda o‘rganilgan mavzularni ahamiyati kattadir.