Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar”

2.2-§. Buziluvchan giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasi
Ushbu
(2.22)
tenglama birinchi tur buziluvchan giperbolik tipdagi tenglama bo‘lib,
(2.22) tenglamaning xarakteristik tenglamasini tuzamiz:
.
Bundan

bo‘lib, uni integrallasak,
,
,
yoki
,

xarakteristikalar oilasini hosil bo‘ladi, bu yerda
(2.22) tenglamani
,

xarakteristikalari va o‘qining kesmasi bilan chegaralangan sohada qaraymiz, bu yerda .
y
A h



C _J

O x
2-rasm
Koshi masalasi. (2.22) tenglamaning sohadagi regulyar, yopiq sohada uzluksiz bo‘lgan hamda quyidagi
(2.23)
(2.24)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini aniqlang. Bu yerda

bo‘lib, da dan kichik tartibda cheksizlikka intilishi mumkin, da chegaralangan.
(2.22) tenglama va (2.23)-(2.24) boshlang’ich shartlar ushbu
,
xarakteristik koordinatalarda
, (2.25)
(2.26)
bu yerda
, .
sohaning tekislikdagi aksi va chiziqlar bilan chegaralangan sohadan iborat.

1

O
3-rasm
(2.22) tenglamaning Riman funksiyasi ning funksiyasi sifatida ushbu
(2.27)
qo‘shma tenglamani hamda
,
,

chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. Riman funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega

bu yerda
, ,
-soha, to‘g’ri chiziqning kesmasi va xarakteristikalar bilan chegaralangan bo‘lsin.
Quyidagi
,
bu yerda
,

tenglikni soha bo‘yicha integrallab, da (2.25) tenglamaning ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi yechimi uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:








Bundan

almashtirish bajarib, (2.22) tenglamaning (2.23)-(2.24) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini olamiz:




, (2.28)
bu yerda
.
II bob bo‘yicha xulosa
II bob ikkita paragrafdan iborat bo‘lib, unda buziluvchan parabolik va giperbolik tipdagi tenglamalar uchun ba’zi chegaraviy masalalar o‘rganilgan.
_Quyidagi
, x>0
_va

buziluvchan parabolik va giperbolik tipdagi tenglamalar uchun mos ravishda
cheksiz sohada 2-chegaraviy masala yechimi va chekli sohada Koshi masalasi yechimi ko‘rinishi aniqlangan.
Mazkur bobda o‘rganilgan mavzular magistrlik mavzusini yoritishda muhim ahamiyatga ega. Bu olingan yechimlar yordamida aralash parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun nolokal chegaraviy masalalar yechimlarining mavjudligi va yagonaligi isbotlanadi.