Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar”

3. Buzuluvchan giperbolik tipdagi tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. (1.44) ikkinchi tartibli kvazichiziqli differensial tenglamani qaraymiz.
sohada bo‘lsin, u holda (1.1) tenglamani giperbolik tenglama deyiladi. chiziqlar, bu yerda ushbu

tenglamaning yechimi, (1.44) tenglamaning xarakteristik chiziqlari (yoki xarakteristikalari)deyiladi,

tenglamadan aniqlanuvchi

yonalish - (1.44) tenglamaning xarakteristik yo‘nalishi deyiladi.
Ma’lumki,giperbolik tenglama uchun ikkita turli haqiqiy xarakteristikalar oilasi mavjud.
(1.44) tenglama sohada giperbolik tenglama bo‘lsin. sohaning butun chegarasida yoki bu chegaraning biror qismida bo‘lsa, u holda (1.44) tenglamani yopiq sohada buziluvchan giperbolik tenglama deyiladi; soha chegarasining bu qismi esa (1.44) tenglama uchun buzilish chizig’i yoki parabolik chizig’i deyiladi. Bunda (1.44) tenglama xarakteristik yo‘nalishlari maydoni chegarasida parabolik chiziq holatining ikki holi bilan chegaralanamiz:
1) parabolik chiziqning xech bir nuqtasida urinma (1.44) tenglamaning xarakteristik yo‘nalishi bilan ustma-ust tushmasin, ya’ni ning hamma yerida
(1.47)
U holda - (1.44) tenglama xarakteristikalarining o‘sish nuqtalarining geometrik o‘rni bo‘ladi;
2) parabolik chiziqning xar bir nuqtasida urinma (1.44) tenglamaning xarakteristik yo‘nalishi bilan ustma-ust tushsin. Bu shuni bildiradiki, da
(1.48)
tenglik o‘rinli, ya’ni chiziq bir vaqtda (1.44) tenglamaning xarakteristikasi bo‘ladi [(1.1) tenglama xarakteristikalar oilasining eguvchilari].
1-holda (1.44) tenglama birinchi tur buziluvchan giperbolik tenglama, 2- holda ikkinchi tur buziluvchan giperbolik tenglama deb ataladi.
Quyidagi chiziqli tenglamani qaraymiz
(1.49)
(bu yerda va da ). Bu tenglama chiziqda parabolik buzilishga ega da giperbolik tipga tegishli.
(1.49) tenglama da ikkita turli haqiqiy xarakteristikalarga ega bo‘lib, ular quyidagi tenglamalardan aniqlanadi

2. Regulyar yechim ta’rifi. Endi regulyar yechim tushunchasini keltiramiz.
(1.49) tenglamaning sohadagi regulyar yechimi deb, yopiq sohada uzluksiz,
va bu tenglamani sohaning barcha nuqtalarida (1.49) tenglamani qanoatlantiruvchi funksiyani ataymiz.
3. Koshi masalasining qo‘yilishi. (1.49) tenglamaning quyidagi
(1.50)
boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping,bu yerda berilgan funksiyalar.
4.Protter teoremasi.