Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun chegaraviy masalalar”

Teorema. (14) - (16) shartlar bajarilganda T masala yechimi mavjud va yagona.
T masala yechimining mavjudligi noma’lum funksiyaganisbatan Volterra 2-tur integral tenglamasining yechimga egaligiga ekvivalent ravishda keltiriladi. Hosil qilingan Volterra 2-tur integral tenglamasi kuchsiz maxsuslikka ega bo‘ladi va Volterra integral tenglamalari nazariyasiga ko‘ra [8],[12-13] u sinfda yagona yechimga ega bo‘lib, da dan kichik tartibda cheksizlikka intiladi, da chegaralangan. Ekvivalentlikdan kelib chiqadiki, T masala yechimi mavjud va yagona.
T masalaning yechimi cheksiz sohada buziluvchan parabolik tipdagi tenglama uchun 2-chegraviy masalaning va -sohada esa Koshi masalasining mos ravishda (4) va (9) ko‘rinishdagi yechimi sifatida aniqlanadi.
I bob. Asosiy tushunchalar
Ushbu bobda maxsus funksiyalar nazariyasidan ba’zi ma’lumotlar keltirilgan va buziluvchan differensial tenglamalar haqida muhim tushunchalar yoritilgan.
1.1-§. Ba’zi maxsus funksiyalar
1. Gamma va Beta funksiyalar.
Quyidagi [10]
( ) (1.1)
integral Beta funksiya yoki birinchi tur Eyler integrali deyiladi. U ikki ozgaruvchili
a va b parametrlarning funksiyasini ifodalaydi.
Ushbu
_(1.2)
integral, Lejandr tomonidan Eylerning ikkinchi tur integrali deb nomlangan
va u Г (“Gamma”) funksiyani aniqlaydi.
Gamma va Beta funksiyalar xossalari.

Beta funksiya quyidagi xossalarga ega:

. Beta funksiya a va b ga nisbatan simmetrik, ya’ni

. Quyidagi formulalar o‘rinli
a>1 da ,
b>1 da
Agar a va b lar mos ravishda m va n natural sonlardan iborat bo‘lsa, u holda

. Beta funksiya quyidagicha ham ifodalanadi:


bo‘ladi.
Г - funksiyaning sodda xossalarini keltiramiz:
funksiya, barcha qiymatlarda, uzluksiz va barcha tartibdagi hosilalarga ega.
. funksiya uchun formula o‘rinli.
Bu formula yordamida

tenglikni olish mumkin. Bundan esa
. da va da ham
Beta va Gamma funksiyalar orasida quyidagicha bog’lanish mavjud

Quyidagi formula o‘rinli

da, bu yerdan

Ushbu Lejandr formulasi o‘rinli

2. Gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi. Ushbu
(1.3)
ko‘rinishdagi gipergeometrik diferensial tenglama yoki Gauss tenglamasi deyiladi, bu yerda va - o‘zgarmas sonlar bo‘lib, ular haqiqiy yoki kompleks qiymatlarni qabul qiladi va lar tenglamada simmetrik qatnashadi; bunda x=0 va x=1 maxsus nuqtalar.
(1.3) tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
(1.4)
Ma’lumki,
<1 da
Buni hisobga olib, (1.3) tenglamani

yoki
(1.5)
deb yozib olamiz.
Quyidagi tenglamani qaraymiz
, (1.6)
bu yerda
,
yaqinlashuvchi darajali qatorlar bo‘lib, p₀, q₀ va q₁ koeffisiyentlar bir vaqtda nolga aylanmaydi, tenglamanig xususiy holi bo‘lib, bunda x₀=0, p₀= , q₀=0, shuning uchun x=0 nuqtada aniqlovchi tenglama

ko‘rinishga ega. Uning ildizlarini topamiz:

Faraz qilamiz, bu ildizlarning ayirmasi butun son bo‘lmaydi, ya’ni xech bir butun songa ham, nolga ham teng emas. U holda, x=0 maxsus nuqta atrofida ikkita chiziqli bog’liqsiz xususiy yechimlarni umumlashgan darajali qatorlar ko‘rinishida qurish mumkin
(1.7)
Avval aniqlovchi tenglamaning = 0 ildiziga mos xususiy yechimni ko‘ramiz, ya’ni x=0 maxsus nuqta atrofida yechimni quramiz.
Shunday qilib, (1.5) tenglamaning xususiy yechimini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz;
(1.8)
Bundan hosilalarni hisoblaymiz:
(1.9)
U holda (1.8), (1.9) ni (1.5) tenglamaga qo‘yib,
(1.10)
tengalikni olamiz. Bu yerda ozod hadni no‘lga tenglaymiz:
(1.11)
Bu yerdan
. (1.12)
deb olib,
. (1.13)
(1.10) ni ushbu ko‘rinishda yozib olamiz:

yoki

Endi x^k oldidagi koeffisiyentni no‘lga tenglab, quyidagini topamiz
(1.14)
bu yerdan


yoki

ekanini hisobga olib,

tenglikni olamiz, shuning uchun
(1.15)
Bu yerdan
,
,…,
(1.16)
Ravshanki, izlangan xususiy yechim ushbu ko‘rinishga ega.
(1.17)

bunda


xususan, (1)_n=n! bo‘ladi.
U holda (1.17) qator
(1.18)
ko‘rinishni oladi. O‘ng tomondagi qator gipergiometrik qator deyiladi, (1.18) gipergiometrik qatorning yig’indisi bo‘lgan funksiya esa gipergiometrik funksiya deyiladi.
Matematik analiz kursida malum bo‘lgan, Dalamber alomatiga ko‘ra,



Demak, (1.18) qator da absolyut yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchi bo‘ladi.