Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

k

x

e

x

tg

x
k- uzunlik birligiga bog’liq doimiy. Agarda 
x
0 bo’lsa, u xolda

(x)
0

2

; agar x

bo’lsa, u holda (x)
0. Nihoyat umumiy perpendikulyarga
ega bo’lgan to’g’ri chiziqlar ikkala tomonda uzoqlashadi. Uchburchak ichki burchak-
larining yig’indisi 2d dan kichik bo’lib, tomonlari kattalashgan sari, bu yig’indi kich-
rayib boradi. Lobachevskiy geometriyasida o’xshash uchburchaklar mavjud emas. 
Uchburchaklar tengligi faqat uchta burchagi teng bo’`lganda.
Barcha uchburchaklarning yuzalari yuqori chegarasi 

c
(s- o’chlov birligiga 

bog’liq doimiy) bo’lgan to’plam tashkil etadi.
Aylana uzunligi l= 

k
(e

kr
–e
-kr

) ga teng bo’lib, radius r ga qaraganda tezroq

o’sadi.

Bundan keyingi rivojlanishida to’g’ri chiziqlar dastasi uchun yaqinlashuvchi,

uzoqlashuvchi va parallellik munosabatlarini kiritish kerak. 
Dastaga nisbatan esa tsikl (asosiy chiziqlar) tushunchasini kiritamiz. Bu to’g’ri
chiziqlar dastasining ortogonal traektoriyalaridan iborat bo’lgan nuqtalarning geo-
metrik o’rnidir. Ularning vaziyati dastaning biror to’g’ri chizig’ida olingan bosh-
lang’ich nuqta bilan aniqlanadi. Bu tsikllar 3 xil ko’rinishdagi dasta uchun mos ra-
vishda aylana, ekvidistanta (gipertsikl), oritsikl (R
da aylananing obrazi) deb 
ataladi.
Barcha munosabatlar uchun o’lchov birligi kiritilgan bo’lib, burchak va uzun-
liklar bir-biriga bog’liq.
O’lchov birligi qilib oritsikl yoyining
0

absalyut uzunligi OR olingan. Bu yoy

---

---

79

R
quyidagicha olinadi: tanglangan O nuqtadan

boshlab (dastaning parallel to’g’ri chiziqlaridan

birida), oritsiklni dasta to’g’ri chizig’i bilan ke-
sishgan nuqtasi R gacha bo’lgan yoy. Ќisoblash
apparati giperbolik funktsiyalar orqali bajarila-
di.
10-rasm Masalan: sinuslar teoremasi 


kc

sh

kb

sh

ka

sh
sin

sin
sin

.
Shunday qilib Lobachevskiy geometriyasi Evklid geometriyasi kabi mantiqan 
ketma-ketlikda tuzilgan va faktlarga boy ekan. Lobachevskiy qabul qilgan usul za-
mondoshlari tomonidan tushunilmadi va uning geometriyasi qabul qilinmasdan 
1856 yili vafot etadi.
Lobachevskiy geometriyasini tushunish uchun ko’pdan-ko’p interpretatsiya-
lar bo’ldi. Bulardan dastlabkisi o’zi tomonidan bo’ldi.
Masalan, uchburchak ichki burchaklari yig’indisi 2d dan kichik bo’lishini, ya’ni 
farq

d
2
( - burchaklar yig’indisi) 

2

r

S
(r-egrilik radiusi). Bunday farq sezi-
lishi uchun uchburchak nihoyatda katta bo’lishi kerak. Buni tekshirishni iloji
bo’lmadi. 
1868 yili E.Belьtram “Noevklid geometriyani talqin qilish tajribasidan” maqo-
lasida birinchi bo’lib interpritatsiya beradi.
U tekislikning ma’lum cheklangan qismi uchun Lobachevskiy geometriyasida
qarama-qarshilik yo’q ekanligini isbotladi. 
1871 yili F.Kleyn “Noevklid geometriya haqida” asarida Lobachevskiy geome-
triyasini sferaning ichki nuqtalariga proektiv akslantirish bilan masalani to’liq hal 
qildi.
1882 yili A.Puankare yangi interpretatsiyasini beradi. Bunda Lobachevskiy te-
kisligi doiraning ichki nuqtalariga inversion akslantiriladi.
Lobachevskiyning Evklid geometriyasidan boshqa geometriyalar ham mavjud 
degan g’oyasi XIX asrning 2-yarmiga kelib o’z ifodasini topdi va ko’plab geometriya-
larni vujudga keltiradi. 
Ikkinchi fikri – geometriyaning haqiqatligi faqat tajriba orqali tekshiriladi.
Bunda fazoning tabiati noevklid bo’lishi mumkin. 
Uchinchi fikri – aksiomalar sistemasini o’zgartirish va umumlashtirish orqali
yangi geometriyalar olish mumkin. 
Natijada 1866 yili o’. o’elьmgolьts asosiy tushuncha sifatida harakatni, o’.
Kantor (1871) va R. Dedekind (1872) – uzluksizlik aksiomasini, Pash (1882) - tartib va 
tegishlilik aksiomalarini kiritadi.
1899 yili D.o’ilьbert "o’eometriya asoslari" asarida to’liq va etarlicha qat’iy 
bo’lgan aksiomalar sistemasini bayon etadi.
Natijada XIX asr oxiriga kelib geometriyada aksiomatik metod mustahkam 
o’rin oldi.

---

---

80

Ikki og’iz so’z Lobachevskiy geometriyasi haqida. 1773 yili adashib I.Sakkeri
isbotladim deb o’ylagan edi. 
1766 yili I.Lambert ko’pgina natijalar oldi, lekin dovdirab qoldi (1786 yili e’lon
qiladi). 
F.Shvekart (1818) va F.Taurinus (1825) shu yo’ldan borishga harakat qildilar.
Venger Ya.Bolьyai (1802-1860) – 1832 yilda o’z natijalarini e’lon qiladi, ammo 
o’auss taqriz bermaydi. o’auss o’lgandan keyin (1855) u ham shunday natijalar olga-
ni ma’lum bo’ladi. 
Tekshirish savollari: 

1. XIX asrgacha bo’lgan geometriyaning holati qanday edi?

2. Noevklid geometriya qanday kashf qilingan? 
3. Lobachevskiy geometriyasining vujudga kelishi.
4. Lobachevskiy xayoti va ijodi haqida nimalar bilasiz? 
5. o’eometriyani aksiomatik qurish nima?