Reja: Funksiya differensiali va uning funksiya hosilasi bilan bog’liqligi

Yechish. u=e^x va v=x³ deb olsak, Leybnits formulasiga ko‘ra

bo‘ladi. (x³)’=3x², (x³)’’=6x, (x³)’’’=6, (x³)⁽⁴⁾=0 tengliklarni va y=x³ funksiyaning hamma keyingi hosilalarining 0 ga tengligini, shuningdek n uchun (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x ekanligini e’tiborga olsak, tenglik hosil bo‘ladi.
Endi koeffitsientlarni hisoblaymiz:

Demak,


Funksiyaning yuqori tartibli differensiallari

Faraz qilaylik y=f(x) funksiya biror (a,b) intervalda berilgan bo‘lsin. Bu funksiyaning dy=f’(x)dx differensiali x ga bog‘liq bo‘lib, dx=x va x orttirma x ga bog‘liq emas, chunki x nuqtadagi orttirmani x ga bog‘liq bo‘lmagan holda ixtiyoriy tanlash mumkin. Bu holda differensial formulasidagi dx ko‘paytuvchi o‘zgarmas bo‘ladi va f’(x)dx ifoda faqat x ga bog‘liq bog‘liq bo‘lib, uni x bo‘yicha differensiallash mumkin.

Demak, bu funksiyaning differensiali mavjud bo‘lishi mumkin va u, agar mavjud bo‘lsa, funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi.
Ikkinchi tartibli differensial d²y yoki d²f(x) kabi belgilanadi. Shunday qilib, ikkinchi tartibli differensial quyidagicha aniqlanar ekan: d²y=d(dy). Berilgan y=f(x) funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali ifodasini topish uchun dy=f’(x)dx formulada dx ko‘paytuvchi o‘zgarmas deb qaraymiz. U holda
d²y=d(dy)=d(f’(x)dx)=d(f’(x))dx=(f’’(x)dx)dx=f’’(x)(dx)²
bo‘ladi. Biz kelgusida dx ning darajalarini havssiz yozishga kelishib olamiz. Bu kelishuvni e’tiborga olsak, (dx)²=dx² bo‘ladi va ikkinchi tartibli differensial uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
d²y=f’’(x)dx² (1)
Shunga o‘xshash, uchinchi tartibli differensialni ta’riflash va uning uchun ifodasini keltirib chiqarish mumkin: d³y=d(d²y)=d(f’’(x)dx²)=f’’’(x)dx³.
Umumiy holda funksiyaning (n-1)-tartibli differensiali d^n-1y dan olingan differensial funksiyaning n-tartibli differensiali deyiladi va dⁿy kabi belgilanadi, ya’ni dⁿy=d(d^n-1y). Bu holda ham funksiyaning n-tartibli differensiali uning n-tartibli hosilasi orqali quyidagi
dⁿy=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ (2)
ko‘rinishda ifodalanishini isbotlash mumkin.
Yuqoridagi formuladan funksiyaning n-tartibli hosilasi uning n-tartibli differensiali va erkli o‘zgaruvchi differensialining n-darajasi nisbatiga teng ekanligi kelib chiqadi:
f⁽ⁿ⁾(x)= dⁿy/ dxⁿ.