Reja: Funksiya differensiali va uning funksiya hosilasi bilan bog’liqligi

Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensiallari
Endi x argument biror t o‘zgaruvchining funksiyasi x=(t) bo‘lgan hol uchun yuqori tartibli differensiallarni hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz.
Bu holda dx=’(t)dt bo‘lganligi sababli, dx ni x ga bog‘liq emas deb bo‘lmaydi. Shu sababli ta’rif bo‘yicha (d²y=d(f’(x)dx)) hisoblaganda, d²y ni ikkita f’(x) va dx funksiyalar ko‘paytmasining differensiali deb qaraymiz.
Natijada
d²y=d(f’(x)dx)=d(f’(x))dx+f’(x)d²x=(f’’(x)dx)dx+f’(x)d²x=f’’(x)dx²+f’(x)d²x,
ya’ni d²y= f’’(x)dx²+f’(x)d²x (3)
formulaga ega bo‘lamiz.
Uchinchi tartibli differensial uchun quyidagi
d³y=f’’’(x)dx³+3f’’(x)dxd²x+f’(x)d³x (4)
formula o‘rinli ekanligini isbotlashni o‘quvchilarga taklif qilamiz.
Ikkinchi va uchinchi tartibli differensiallar uchun olingan formulalardan murakkab funksiyaning yuqori tartibli differensiallarini hisoblashda differensial formasining invariantligi buziladi. Boshqacha aytganda, ikkinchi va undan yuqori tartibli differensial formulalari ko‘rinishi x argument erkli o‘zgaruvchi yoki boshqa o‘zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi bo‘lishiga bog‘liq bo‘ladi.
Mavzu bo’yicha takrorlash savollari


1. Yuqori tartibli hosilalar qanday aniqlanadi?
2. Chekli sondagi funksiyalar yig‘indisining n-tartibli hosilasi qanday hisoblanadi?
3. Ikkita funksiya ko‘paytmasining n-tartibli hosilasi qanday hisoblanadi? (Leybnits formulasi)
4. Ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma’nosi nimadan iborat?
5. n-tartibli differensial qanday hisoblanadi?
6. Agar x oraliq o‘zgaruvchi bo‘lsa, d⁴y ni yozing.


Misollar. 1. Quyidagi funksiyalarning so’ralgan tartibli hosilalarini toping:
a) y=x , y’’; b) y=arccos , y’’; c) y=x⁷-e^-2x, y⁽⁴⁾; d) y=x²lnx, y⁽⁶⁾; e) y= , y⁽⁷⁾; f) y=x²sin3x, y⁽⁵⁰⁾.
2. Quyidagi funksiyalarning n-tartibli hosilalarini toping:
a) y=ln ; b) y= .