Reja: Sonli ketma-ketliklar

9. Ikkinchi ajoyib limit va «» soni

Quyidagi ketma –ketlikni qaraylik, ya`ni:

(1)

Agar bo`lsa,

. (2)

(2) ketma –ketlikning yaqinlashishini ko`rsatamiz. Buning uchun ketma –ketlikning o`suvchi va yuqoridan chegaralanganligini ko`rsatish yetarlidir.

(1) ketma –ketlik uchun Nyuton binomi formulasini qo`llaymiz. U holda:

Bundan

(3)

ni bilan almashtirsak (4) hosil bo`ladi:

(4)

(4)dan ko`rinib turibdiki, da dir. Shuning uchun , ya`ni ketma –ketlik o`suvchi va quyidan chegaralangan. Yuqoridan chegaralanganligini ko`rsatishda (3) ketma –ketlikka murojaat qilamiz. (3)dan ko`rinadiki, har bir qavsning ichi 1 dan kichik. Bundan tashqari, bo`lganda ni hisobga olsak, quyidagini hosil qilamiz:

(5)
Oxirgi ifoda uchun geometrik progressiya hadlarining yig`indisi formulasini qo`llasak:

(6)
hosil bo`ladi. Bu esa yuqoridan chegaralanganligidan dalolat beradi.

Demak, ketma –ketlik o`suvchi va yuqoridan chegaralanganligi uchun u chekli limitga ega bo`ladi. Bunday limitni «» soni deb qabul qilingan. Uning algebraik ifodasi quyidagicha:

(7)

yoki . (7¹)

(7) va (7¹) tengliklarga «» soni yoki ikkinchi ajoyib limit deyiladi. Shuni hisobga olish lozimki, (3) va (6) lardan

(8)
ekanligi kelib chiqadi.

«» soni ga teng bo`lib, u irrasional sondir. (7) ni quyidagi ko`rinishda ham yozish mumkin:

. (9)

10. Natural va o`nli logarifmlar

«» soni asos qilib olingan logarifmlarga «natural logarifm» yoki «Neper logarifm» lari deyiladi va kabi belgilanadi.

Natural logarifmlarga «giperbolik logarifm» lar deb ham aytiladi, chunki ular teng tomonli giperbola yoyi, absissa o`qi va 1 hamda absissalarga mos ordinatalar bilan chegaralangan figuraning yuzi bilan bog`langan.

Kompleks o`zgaruvchili funktsiyalar nazariyasida kompleks sonlarning natural logarifmlari qaraladi:

(1)
10 soni asos qilib olingan logarifmlarga o`nli logarifmlar deyiladi. O`nli va natural logarifmlar quyidagi munosabatlar bilan bog`langandir:

(2)

(3)

Tengliklardagi -natural logarifmlardan o`nli logarifmlarga o`tish modulidir. Bu modul quyidagiga teng:

. (4)

asosli ixtiyoriy logarifm ta`rifidan kelib chiqadigan ayniyatni asosiga nisbatan logarifmlash kifoyadir:

. (5)
Bundan

yoki . (6)