SəRBƏst iŞ TƏLƏBƏ:ƏZİzova ilahə faküLTƏ:İQTİsadiyyat və İdarəetmə

İ s b a t ı. 1) Tutaq ki, ardıcıllığı monoton artan və yuxarıdan məhduddur. Sonuncu hökmə görə onun sonlu yuxarı sərhəddi var: . Onda göstərək ki, .

ε>0 qeyd edək. şərtindən alırıq ki, istənilən n=1,2,... üçün və elə nömrəsi var ki, . Onda verilmiş ardıcıllığın monotonluğu şərtindən alarıq ki, istənilən nömrələri üçün . Ona görə də, istənilən n üçün olar, bu da elə deməkdir.

2) Bu hissənin isbatı bundan əvvəlki hissənin isbatına analojidir: İndi tutaq ki, ardıcıllığı monoton azalan və aşağıdan məhduddur. Onda . Göstərək ki, .

ε>0. şərtindən alırıq ki, istənilən n üçün və elə nömrəsi var ki, . Onda monotonluqdan alarıq ki, istənilən nömrələri üçün . Buradan da alarıq ki, . Beləliklə teorem tamamilə isbat olundu.

Biz gördük ki, əgər ardıcıllıq yığılırsa, o, məhduddur(teorem 2), belə ki, əgər monoton artan ardıcıllıq yığılırsa, o, yuxarıdan məhduddur, digər tərəfdən, əgər monoton artan ardıcıllıq yuxarıdan məhduddursa, onda o,yığılır(teorem 3). Onda aşağıdakı hükmlər doğrudur.

Nəticə. Monoton artan ardıcıllığın yığılan olması üçün zəruri və kafi şərt verilmiş ardıcıllığın yuxarıdan məhdud olmasıdır.

Analoji hökm monoton azalan ardıcıllıqlar üçün də doğrudur.

Qeyd. Əgər uzunluğu sıfıra yaxınlaşan bir-birinə daxil olan parçalar sistemi, ξ isə verilmiş sistemin bütün parçalarına daxil olan nöqtədirsə, onda

.

Misal. e ədədi.

Tutaq ki, Göstərək ki, bu ardıcıllıq yığılandır.

Nyuton binomuna görə mötərizələri açsaq onda alarıq:







(1)

n-dən n+1-ə keçdikdə toplananlarının bütün müsbət ədədləri artır və bundan əlavə hər bir toplanan çoxalır:

onda

daha sonra qeyd edək ki, (1) bərabərliyində hər bir şəkilli mötərizələr vahiddən kiçikdir və istənilən n=1,2,... üçün olduğundan, alarıq ki,

Həndəsi silsilənin tərifinə görə ardıcıllığının istənilən n natural ədədi üçün cəmini tapmaq olar və o, 3-ə bərabərdir. Ona görə də alarıq:

. (2)

Onda ardıcıllığı monoton artır, yuxarıdan məhduddur və deməli, teorem 3-ə görə limitə malikdir. Bu limit e hərfi ilə işarə olunur. (1) və (2)-dən alarıq ki,

.

Bu ədədi daha da dəqiqləşdirsək, e=2,7182... alarıq. e ədədi riyazi analizdə əsas rollardan birini oynayır. O natural loqarifmin də əsasını təşkil edir.