Statistika

Metody mnohonásobného srovnávání

V případě, že u testu zjistíme, že rozdíl mezi průměry existuje, nevíme mezi kterými. V případě zamítnutí H₀ je třeba použít jednu z těchto metod:

Neményiho metoda

ΙT_i-T_jΙ  K  Zamítáme H₀

K - kritická hodnota ze speciálních tabulek

Používá se v případě, že rozsahy VSů jsou stejné.

2. Duncanova metoda

Používáme, jsou-li rozsahy VSů různé

3. 
   Friedmanův test
   

Máme více než 2 závislé Vsy.
Postup: hodnoty uspořádáme do tabulky, která bude mít počet řádků n a počet sloupců k. Pak pro každý řádek zvlášť stanovíme vzestupně pořadová čísla. Pak provedeme součty pořadových čísel v jednotlivých sloupcích a dostaneme hodnoty A₁, A₂,......,A_k.

Testovací kriterium:

T_F>²_α ^(k-1)  Zamítáme H₀

Test na extrémní odchylky - Dixonův test

V souboru se extrémní hodnota může vyskytnout chybou přepisu hodnot, chybou ve vážení či měření. Hodnota vážená chybou - rozhoduje, zda hodnota do souboru patří či ne.
Testovací kritéria:

 pro nejmenší hodnotu (extrémně malou)
 pro největší (extrémně velkou) hodnotu
x₂ - 2. nejmenší hodnota

x₁ - nejmenší hodnota

x_n - největší hodnota

x_n-1 - 2. největší hodnota
Q₁ >Q_1α a Q_n > Q_nα  Ho zamítáme a hodnotu vyloučíme ze souboru jako extrém.

Test iterací

Cílem testu je ověřit náhodnost uspořádání pozorování dvojího druhu. Máme n pozorování a pozorujeme n₁ (počet pozorování 1. druhu) a n₂ (počet pozorování 2. druhu). Potom musíme stanovit tzv. počet iterací = počet skupin jednoho prvku nebo pozorování ohraničených z obou stran pozorováním 2. druhu.
H₀: posloupnost je náhodná.
Za předpokladu, že n>30, lze H₀ ověřit pomocí testovacího kriteria:

n - počet prvků celkem

n₁ - počet prvků 1. druhu

T_I - počet interací

u_I > u_α  H₀ zamítáme a přijímáme závěr, že prvky nejsou náhodně uspořádány_.

Analýza rozptylu (analýza variance)
Vícerozměrný test, zobecnění t-testu, který testuje rozdíly mezi více než 2 průměry základních souborů (m). Původně byla vyvinuta pro potřeby zemědělského výzkumnictví a pokusnictví (vznik 1930 – 1940, Fisher). Používá se dnes i v jiných vědních oborech.
Spočívá v rozkladu výběrového rozptylu na několik částí, které jsou příslušné jednotlivým uvažovaným zdrojům variability. Používá se tehdy, zkoumáme-li vliv jednoho či více faktorů na výsledný znak kvantitativní. Může to být určitá hodnota nebo obměna kvantitativního znaku.

Rozdělení podle počtu sledovaných znaků

1. 
   analýza jednoduchého třídění – zkoumá vliv 1 faktoru na znak kvantitativní. Výsledná pozorování jsou roztříděná podle jednoho kvalitativního faktoru A do různých úrovní.
   
2. 
   analýza dvojného třídění – zkoumá vliv 2 faktorů na znak kvantitativní. Roztřídění podle 2 kvalitativních faktorů A, B.
   
3. 
   analýza trojného třídění – v praxi používána zřídka
   

V praxi se používají speciální modely analýzy přizpůsobené oblasti, kde se výzkum provádí (polní pokusy), např. analýza rozptylu latinského čtverce.

Modely analýzy

1. 
   s pevnými efekty – je-li úroveň faktoru pevně fixována (dávky hnojiv)
   
2. 
   s náhodnými efekty – pokud jsou úrovně faktoru náhodně vybrány z velkého počtu možných úrovní (např. názor studentů PEF na menzu)
   

Základní myšlenka analýzy spočívá v rozkladu celkového rozptylu na součet rozptylů způsobených uvažovanými faktory s připočtením tzv. reziduálního (zbytkového) rozptylu, který popisuje vliv náhodných složek (buď co nesledujeme nebo co jsme opomněli).

Např. faktory A, B, ….. => celkový rozptyl S = S_A + S_B + S_C + … + S_r

Základní podmínky použití analýzy

1. 
   k výběrů k dispozici, které pocházejí z normálně rozdělených základních souborů
   
2. 
   statistická nezávislost náhodných chyb
   
3. 
   základní soubory, ze kterých jsou pořízené výběrové soubory, mají shodné rozptyly – nejdůležitější podmínka, kterou je nutno dodržet (používáme testy)
   

Testy o rozptylech pro případ k výběrových souborů, kdy k > 2

Používáme je před t-testem. Nulová hypotéza:

1. 
   Bartletův test k výběrů
   
   
   
   
   s_i² = nestranný výběrový rozptyl i-tého výběru
   
   B > c²_a ^{(k -1)} zamítáme H₀, alespoň 2 z rozptylů jsou různé
   

Pokud známe rozsahy souborů, můžeme použít jednodušší test:

2. 
   Cochanův test
   Musí být stejné rozsahy souborů: n₁ = n₂ = … = n_k
   
   
   G > G_a^{(k; n – 1)} zamítáme H₀
   

3. 
   Hartleyův test
   
   
   F_max > F_a^{(k; n – 1)} zamítáme nulovou hypotézu
   

V případě, že nejsou splněny podmínky, provedeme transformaci dat (umocníme, zlogaritmujeme, přičteme konstantu, odmocníme).

Analýza rozptylu slouží k ověření nulové hypotézy: . Data jsou setříděna do tabulky. Pokud zamítáme H₀ ve prospěch alternativní hypotézy znamená to, že alespoň 2 z průměrů jsou různé.

Analýza rozptylu jednoduchého třídění

Zkoumá vliv 1 faktoru na výsledný znak kvantitativní. Máme výsledky měření určitého experimentu roztříděné podle úrovní faktoru A. Jednotlivé úrovně jsou a₁, a₂, …, a_m.

Vyvážený model

Počet pozorování v každé úrovni (třídě) je stejný a je roven rozsahu n. Jednotlivé hodnoty jsou x_ij, kde i = 1, …, m a j = 1, …, n. To znamená, že model má m výběrových souborů, přičemž každý výběrový soubor má n opakování.
Matice vstupních dat:
Základní matematický model: x_ij = m + a_ij + e_ij
m = teoretický průměr všech úrovní znaku, obecná konstanta všem pozorováním společná

a_ij = efekt i-té úrovně faktoru A

e_ij = chyba vzniklá v důsledku náhodných příčin, kterou je každé řešení zatíženo


- efekty jsou zanedbatelné, nebyl prokázán efekt na různých úrovních.