Statistika

Korelační a regresní analýza

Závislost kvantitativních znaků

1. 
   kauzální (příčinná) závislost - změna jednoho znaku vede ke změně znaku druhého. Výskyt jednoho znaku kauzálně souvisí se znakem druhým.
   
2. 
   pevná x volná závislost –
   

• 
  Pevná (funkční) – výskyt jednoho znaku je nerozlučně spjat s výskytem druhého znaku, pravděpodobnost druhého znaku = 1
  
• 
  Volná (statistická) – s výskytem jednoho znaku se zvyšuje pravděpodobnost druhého znaku
  

Statistické znaky

Máme k dispozici proměnnou x a proměnnou y. Závislost x a y je jednostranná nebo oboustranná. X považujeme za nezávisle proměnnou, y za závisle proměnnou. K popisu závislosti používáme metody regresní a korelační analýzy.

Úkoly korelační a regresní analýzy

1. 
   vystihnout průběh závislosti, vystihnout tendenci změn tak, abychom mohli provádět odhady závisle proměnné na základě daných hodnot nezávisle proměnných = vlastní regresní analýza
   
2. 
   chceme změřit sílu neboli intenzitu závislosti, abychom mohli říct, jak je závislost těsná a abychom mohli posoudit přesnost regresních odhadů = korelační analýza
   

Vlastní regresní analýza

• 
  průběh závislosti vyjádříme podmíněnými průměry, které dostaneme roztříděním hodnot y do skupin podle hodnot nezávisle proměnných x
  

xi (intervaly)	yi		si^2
x - x	y1; y4; y20		s1^2
			s2^2

= podmíněné průměry – podmíněny jednotlivým hodnotám x_i

Grafické vyjádření

x_i

• 
  čára podmíněných průměrů, která je nejjednodušším způsobem vyjádření průběhu závislosti
  

Měření intenzity závislosti

V případě, že průběh závislosti je vyjádřen podmíněnými průměry, tak těsnost závislosti je vyjádřena korelačním poměrem:

= rozptyl původních podmíněných průměrů

= rozptyl původních hodnot
Korelační poměr nabývá hodnot <0,1>. Čím více se blíží k 1, tím je závislost těsnější a silnější, čím více se blíží 0, tím je závislost slabší
Poměr determinace

Druhá mocnina korelačního poměru, která se obvykle vyjadřuje v % a udává nám přibližně z kolika % je závisle proměnná ovlivněna uvažovanou nezávisle proměnnou x

Vyjádření závislosti pomocí podmíněných průměrů bereme pouze orientačně. Nedostatkem je, že na jeho základě nedokážeme provádět regresní odhady.
Jinou možností vyjádření průběhu závislosti jsou regresní funkce = matematické funkce dvou proměnných (lze použít všechny matematické funkce)

Hlavní regresní funkce

x

y

Přímka Kubická parabola – polynom III. stupně



b₁ = určuje průběh přímky









Parabola II. stupně hyperbola

Mocninná a exponenciála Růstová

Další funkce: odmocninná, logaritmická, paraboly (polynomy) IV. a V. stupně

Výběr nejvhodnější funkce

1. 
   vycházíme ze znalostí a zkušeností
   
2. 
   vytvoření tzv. korelačního pole a na základě jeho tvaru hledáme nejvhodnější funkci
   

d_i – vzdálenost mezi skutečnou y_i a teoretickou y´_i, u které chceme, aby byla co nejmenší

• 
  konkrétní závislost proložíme celou řadou funkcí a ve 2. fázi hledáme funkci, která co nejlépe odpovídá korelačnímu poli
  

Nalezení konkrétní funkční rovnice

K vypočítání parametrů funkce používáme metodu nejmenších čtverců (MNČ), používanou bezprostředně nebo po transformaci. Výsledkem MNČ je soustava normálních rovnic a jejich řešením lze určit parametry.
y = f (x, b_1, b_2,…., b_p)

y = b₁f₁ + b₂f₂ +….._, + b_pf_p

f_j = f_i (x)

Požadavky MNČ

1. 
   => suma odchylek je rovna nule - nevede k jednoznačnému řešení – funkcí, které ji splňují, je nekonečno
   
2. 
   => kvadrát odchylek (součet čtverců odchylek pozorovaných hodnot) má být minimální - základní požadavek MNČ, vede k jednoznačnému řešení a na jeho základě určujeme parametry regresních funkcí
   

Jednoduchá lineární regrese = přímková regrese

Průběh závislosti je vyjádřen rovnicí přímky: y΄ = a_yx + b_yx (1. index – závisle proměnná, 2. index – nezávisle proměnná)

Regrese = popis průběhu závislosti mezi dvěma či více kvantitativními statistickými znaky pomocí regresního modelu (regresní funkce).
Parametry přímky:

a_yx - absolutní člen – posunutí přímky na ose y

b_yx - směrnice, regresní koeficient
Metoda nejmenších čtverců (2. požadavek):

Provedeme parciální derivace:

Výsledky po derivaci položíme rovny nule, úpravou se dostaneme k soustavě normálních rovnic přímky:

Parametry a, b jsou naše neznámé.

b_yx = regresní koeficient, který vyjadřuje, o kolik se změní závisle proměnná y, jestliže se x změní o jednotku. Pokud provádíme odhad změny, vystačíme s odhadem dle regresního koeficientu. Pokud chceme provést konkrétní odhad hodnoty závisle proměnné y na základě daných hodnot x, musíme k odhadům použít celou regresní přímku.



Sdružená regresní přímka (závislost x na y)
Soustava normálních rovnic:


Výpočet parametrů:



b_yx, b_xy = sdružené regresní koeficienty – mají vždy stejná znaménka

Měření těsnosti závislosti

Korelace – intenzita neboli těsnost závislosti mezi kvantitativními znaky, které měříme buď pomocí charakteristik korelace (korelační poměr, korelační koeficient či index korelace) a nebo pomocí charakteristik determinace, což je druhá mocnina charakteristik korelace a zpravidla se uvádí v %.