Statistika

Hyperbola

Parabola 2. stupně

Odmocninná funkce

• 
  někdy používáme zjednodušenou odmocninou funkci: y´= a + b √x
  

Logaritmická funkce

Mocninná funkce

• 
  je nelineární v parametrech, používáme metodu nejmenších čtverců k určování parametrů, ale je zde nutná určitá transformace funkce
  
• 
  funkci zlogaritmujeme
  
• 
  totožná z předchozí logaritmickou funkcí po substituci
  

Řešení:

Exponenciála

Řešení:

Nelineární korelační analýza

V případě, že je průběh závislosti vyjádřen nelineární funkcí, těsnost závislosti měříme tzv. korelačním indexem.

Korelační index

Definiční tvar:
= reziduální rozptyl – rozptyl kolem teoretických hodnot, směrodatná chyba regresního odhadu
Korelační index nabývá hodnot <0,1>.
I_yx ¹ I_xy (pouze za předpokladu linearity regrese platí I_yx = I_xy = r)
Výpočetní tvar:

Index determinace

I²_yx - přibližně udává z kolika % je závisle proměnná ovlivněna nezávisle proměnnou


b^´ = transponovaný vektor regresních parametrů

Maticový zápis normálních rovnic

• 
  analogický s přímkou
  

X´y = X´X . b
X´X = matice soustavy normálních rovnic

Matice X pro různé funkce

hyperbola odmocninná parabola loraritmická

Vektor regresních parametrů

b = (X´. X)^-1 . X^-1. y
(X´. X)^-1 = inverzní matice k matici soustavy normálních rovnic

Testy a odhady u nelineární regrese

Podobně jako u přímkové regrese připadá u nelineární regrese v úvahu zobecnění vypočtených charakteristik korelace a regrese. Budeme tedy opět pracovat s výběrovými soubory pořízenými náhodným výběrem. Výsledky VS lze zobecnit na ZS. K tomu budeme používat testů a v případě zjištění statistické významnosti provádět bodové a intervalové odhady. Je zde ovšem složitější situace než u přímkové regrese, kde většina postupů vycházela z normality rozdělení. Zde předpoklad o normalitě chybí. Nikde není uveden test korelačního indexu. Při velmi velkých rozsazích výběrového souboru nemá soubor výběrových korelačních indexů normální rozdělení a nelze použít ani aproximaci.

Test o regresních parametrech

H₀: _j = 0 A: _j ¹ 0


= odhad směrodatné odchylky souboru výběrových regresních parametrů
Pokud t >t_ - zamítáme H₀

Interval spolehlivosti pro regresní parametr

b_j ± t_{ .} s_bj
K testování statistické významnosti celé regresní funkce také používáme upraveného modelu analýzy rozptylu.

Vícenásobná závislost kvantitativních znaků

Jedna závisle proměnná je závislá na více nezávisle proměnných y = (x₁, x₂, x_3….. x_n). K vystižení průběhu závislosti používáme vícenásobnou regresní funkci.
U vícenásobné závislost lze formulovat obdobné závislosti jako u závislosti párové.

1. 
   vystihnout průběh závislosti – vlastní regrese
   
2. 
   změnit sílu (těsnost) závislosti – korelace
   

K vystižení průběhu závislosti budeme používat vícenásobnou regresní funkci. V nejjednodušším případě bude závislost opět lineární.

Vícenásobná lineární regrese

k – prostý, absolutní člen lineární regresní funkce, který vyjadřuje závislost y na k
b = dílčí regresní koeficienty – vyjadřují (jen část závislosti) o kolik jednotek se změní závisle proměnná, když se nezávisle proměnná uvedená v indexu na 1. místě změní o jednotku a ostatní nezávisle proměnné budou konstantní
Druhým úkolem je určit konkrétní funkční rovnici, tzn. najít parametry funkce, k čemuž také používáme metodu nejmenších čtverců a získáme tak soustavu normálních rovnic:

Maticový zápis

Další možností výpočtu je výpočet parametrů pomocí odvozených vzorců a výpočet je postaven na tom, že regresní koeficienty počítáme pomocí regresivního koeficientu o stupeň nižších řádů.

Párové regresní koeficienty

Nejjednodušší případ u 2 nezávisle proměnných:

Měření síly závislosti

Úplný (totální) korelační koeficient

Vyjadřuje těsnost závislosti y na všech uvažovaných nezávislých proměnných najednou. Nabývá hodnot <-1,1>. Čím více se blíží k –1 nebo k 1, tím je závislost těsnější.


Totální koeficient determinace (R²)

Je-li vyjádřen v %, tak přibližně udává, z kolika % je závisle proměnná závislá na uvažovaných nezávisle proměnných. Počítáme pomocí korelačních koeficientů o stupeň nižších řádů.

Parciální (dílčí) korelační koeficient

Vyjadřuje těsnost závislosti vždy na 1 z uvažovaných nezávisle proměnných, přičemž ostatní nezávisle proměnné považujeme za konstantní. Počítáme pomocí jednoduchých párových koeficientů. Nabývá hodnot <-1,1>.

(konstantní x₂)

(konstantní x₁)
Lze též spočítat a interpretovat dílčí koeficienty determinace.

Důležité: Jaký je podíl jednotlivých nezávisle proměnných na regresním odhadu závisle proměnných? Dílčí regresní koeficienty přepočítáme na tzv.  koeficienty

= vyjadřuje o kolik směrodatných odchylek se změní závisle proměnná y, když se nezávisle proměnná x₁ změní o 1 směrodatnou odchylku. Můžeme je srovnávat a čím je  větší, tím je větší podíl určité proměnné

Zobecnění výpočtů na základní soubor

Testy