Statistika

Zjišťování statistické významnosti celé regresní funkce

K řešení tohoto problému používáme upraveného modelu analýzy rozptylu.

Variabilita	Součty čtverců	Stupně volnosti	Rozptyly	Testovací kritérium
Regrese
Kolem regrese

n = rozsah výběrového souboru

p = počet parametrů regresní funkce
F>F_α ^{[(p-1), (n-p)]} → zamítáme H₀ a regresní funkci považujeme jako celek za statisticky významnou
Uvedený model analýzy rozptylu lze použít k testování všech typů regresních funkcí a to i vícenásobných (párových, hyperboly, paraboly, logaritmické funkce).

ODHADY

Intervalové odhady korelačních koeficientů

1. 
   pro velký výběrový soubor (n >100)
   

s_r = odhad směrodatné odchylky souboru výběru korelačních koeficientů

2. 
   malý výběrový soubor (n ≤ 100)
   

Používáme Fisherovu z – transformaci:

1. 
   r  z_r
   
2. 
   
   
3. 
   interval spolehlivosti pro z_r:
   
4. 
   zpětně interval pro  - hodnoty  hledáme obráceně než jsme hledali z
   

Praktické využití regresní analýzy je velice rozšířené. V časové řadě je nezávislá proměnná čas. Když korelujeme, měříme závislost 2 časových řad.

Bodový odhad 

• 
  vždy malinko nižší než r
  

Bodový odhad b

b_yx = b_yx → výběrový soubor = základní soubor

Interval spolehlivosti pro b_yx

b_yx ± t_a^(n-2) .
Lze stanovit bodový i intervalový odhad pro 2. regresní koeficient b_xy .
Analýza kovariance
Používá se na zhodnocení současného vlivu kvalitativního znaku i kvantitativního znaku, případně více znaků na výsledný znak kvantitativní. Jde o kombinaci analýzy rozptylu a regresní analýzy. Část zkoumaných znaků sledujeme kvalitativně a část kvantitativně.
Při analýze kovariance existuje navíc rozklad součtů součinů odchylek dvojic proměnných. Znak y je roztříděn do skupin podle hodnot kvalitativního faktoru A. Vedle toho známe ještě znak x, který je sledován pro stejné jednotky jako znak y a působí na znak y. Podmínka analýzy kovariance: nezávislost doprovodné proměnné x na znaku A.
Problémy použití:

1. 
   jak působí dva znaky na výsledný znak
   
2. 
   testování stability regresních modelů – např. roztřídění farem podle výrobních oblastí – společný model => analýza kovariance ukáže, zda je možné pracovat se společným nebo rozděleným modelem
   

Modifikace analýzy kovariance

Analýza rozptylů s některými prvky regresní analýzy – zkoumá vliv kvalitativního faktoru na výsledný kvantitativní faktor s vyloučením vlivu dalších kvantitativních faktorů.
Regresní analýza s některými prvky analýzy rozptylu – zkoumá vliv kvantitativních faktorů na výsledný kvantitativní znak, přičemž eliminuje vliv kvalitativních faktorů.

Analýza kovariance dvojného třídění

Využíváme 2. modifikaci analýzy kovariance. Vliv dvou kvalitativních faktorů A a C a jednoho kvantitativního faktoru X na Y. Úkolem je odhadnout efekty a a g a testovat hypotézu o nich. Důležitým předpokladem je homogenita rozptylu.
Model:

g_j = efekt j-té varianty kvalitativního faktoru C

Výpočetní tabulka

Variabilita	Součty čtverců odchylek		Součty součinů odchylek	Počty stupňů volnosti
	Nezávisle proměnná X	Závisle proměnná Y
mezi skupinami (A)				k-1
mezi skupinami (C)				h-1
uvnitř skupin (reziduální)				(k-1)(h-1)-1
celkem				hk-1

Regresní koeficient:

Ověření statistické významnosti doprovodné regrese

F-test o shodnosti _i



= definitivní odhad _yx
F_A > F_^{[(k-1); (k-1)(h-1)-1]} zamítáme H₀ a byl prokázán vliv faktoru A.

F-test o shodnosti _i



F_C > F_^{[(k-1); (k-1)(h-1)-1]} zamítáme H₀ a byl prokázán vliv faktoru C.

Při potvrzení doprovodné regrese lze odhadnout tyto rovnice regresních přímek:

Analýza kovariance jednoduchého třídění

Vliv jednoho kvalitativního faktoru A a jednoho kvantitativního faktoru X na výsledný kvantitativní znak Y.
Model:

y_ij = hodnoty závisle proměnné

 = obecná konstanta společná všem pozorováním

_i = efekty jednotlivých úrovní kvalitativního faktoru A

x_ij = hodnoty doprovodné proměnné

 = regresní koeficient pro závislost y na x

e_ij = chyba měřená s průměrnou střední hodnotou a neznámým rozptylem
V modelu analýzy kovariance používáme tečkový způsob zápisu z analýzy rozptylů. Vstupní data uvádíme v tabulce, kde počítáme řádkové součty a průměry.