Statistika

Volba vhodné trendové funkce

1. 
   posouzení věcně logické charakteristiky (posouzení extrémních hodnot)
   
2. 
   vizualizace dat (korelační pole => ? nějaký trend)
   
3. 
   hodnocení na základě vývoje elementárních charakteristik časových řad
   
4. 
   posuzování na základě indexů korelace (čím vyšší, tím lepší funkce)
   

Analýza periodických časových řad

Řady mohou obsahovat trend, vždy obsahují periodické kolísání a zpravidla náhodné kolísání. Periodická složka je důsledkem působení periodicky se opakujících faktorů na sledovaný jev. Časové řady mohou být stacionární nebo s trendem.

Členění dle délky periody:

1. 
   cyklické kolísání – délka periody je delší než 1 rok, např. inovační procesy, demografické a výrobní cykly
   
2. 
   sezónní kolísání – způsobeno buď objektivně (střídání ročních období v zemědělství, stavebnictví, cestovním ruchu) nebo subjektivně (svátky, prázdniny, zvyklosti, tradice). Má často negativní dopad na mnohé odvětví, a proto je třeba je indikovat a podle možností odstranit. Pro měření intenzity sezónních výkyvů se využívají sezónní indexy, což jsou poměrná čísla
   

SEZÓNNÍ INDEXY

Jako vyrovnanou hodnotu můžeme použít:

1. 
   aritmetický průměr skutečných hodnot za období celé periody sezónního cyklu, používá se u stacionárních časových řad bez trendu =>
   
2. 
   hodnota stanovená buď pomocí trendové funkce nebo pomocí klouzavého průměru, používá se u časových řad s významnějším trendem =>
   

Vypočtené sezónní indexy se používají k opravě predikce ukazatele určené pomocí trendové funkce.
Náhodná složka v časových řadách

Je výsledkem působení náhodných vlivů na budoucí ukazatele, nelze ji předvídat.

Popisuje se (kvantifikuje) pomocí absolutní nebo relativní průměrné odchylky.

1. 
   absolutní průměrné odchylky (vychází jednotka, např. kg, l)
   
   • 
     pro stacionární časové řady:
     
   • 
     pro časové řady s trendem:
     
2. 
   relativní průměrné odchylky (vychází bezrozměrné číslo)
   

• 
  pro stacionární časové řady:
  

• 
  pro časové řady s trendem:
  

Interpolace a extrapolace časových řad

Interpolace = přibližné určení chybějící hodnoty sledovaného ukazatele časové řady za předpokladu, že známe sousední hodnoty. Provádí se 2 způsoby:

1. 
   prostřednictvím 2 sousedních hodnot (pomocí jejich aritmetického průměru a průměrného koeficientu růstu celé časové řady)
   
2. 
   prostřednictvím všech hodnot časové řady (z trendové funkce)
   

Extrapolace = určení hodnot časové řady za interval známých hodnot a to zpravidla do budoucího vývoje, jedná se o tzv. statistické prognózování, kdy s pomocí trendových funkcí a sezónních indexů je možno odhadnout budoucí vývoj. Uvedený postup naráží předpoklad neměnnosti podmínek. Nevýhodou uvedeného postupu je skutečnost, že všem hodnotám v časové řadě se přikládá stejná váha. Tuto nevýhodu odstraňuje tzv. adaptivní prognózování, které novým údajům v časové řadě přikládá větší váhu a starším údajům váhu menší. Respektuje tedy stárnutí informace.

Metody adaptivního prognózování = metody exponenciálního vyrovnávání

1. 
   Holtovo exponenciální vyrovnávání
   
2. 
   Brownovo exponenciální vyrovnávání
   
3. 
   Wintersonovo exponenciální vyrovnávání
   

Hodnocení přesnosti vypočtených prognóz

Zpravidla se provádí ex-post (následně). Můžeme to dělat celou řadou charakteristik, z nichž nejjednodušší je relativní chyba predikce: . Pokud je u_r  5 %, tak se prognóza považuje za dostatečně přesnou a použitý model je vhodný pro delší předpovědi.

Statistické prognózování

Předpověď budoucího vývoje veličiny lze provést bodově nebo intervalově:

1. 
   bodová: (n = počet členů časové řady, k = počet kroků dopředu)
   
2. 
   intervalová:
   
   
   Doporučuje se, aby k  1/3 n (z desetileté řady na 3 roky dopředu)
   

Korelace časových řad

V ekonomice časových řad velmi často posuzujeme míru závislosti mezi 2 či více ekonomickými ukazateli, přičemž, každý z nich se odvíjí v časové řadě. Ze statistického hlediska se jedná o korelaci časových řad. Při korelaci časových řad je třeba časovou řadu rozložit na trend, periodické kolísání a náhodné kolísání. Korelovat lze pouze náhodné složky, které jsou pro každou časovou řadu jedinečné a náhodně rozdělené. Jinak by mohlo dojít k tzv. zdánlivé neboli falešné korelaci. Korelace se lze zbavit vyloučením trendu.

Postup při korelaci časových řad

1. 
   Očištění časové řady od trendu a periodického kolísání. Náhodnou složku pak vyjádříme jako odchylku (y_i – u_i) v časové řadě s trendem, jako odchylku (y_i – ) v časové řadě bez trendu. Teprve tyto odchylky lze korelovat.
   
2. 
   Trendová funkce bývá často vybírána subjektivně (špatně). Proto odchylky nevystihují správně náhodnou složku. Odchylky nebudou v čase náhodně uspořádány a bude mezi nimi existovat tzv. autokorelace (závislost mezi po sobě následujícími členy v časové řadě). Korelační koeficient lze určit u časových řad, které nejsou autokorelovány. K ověření autokorelace se používá testů autokorelace. Mírou závislosti po sobě jdoucích hodnot v časové řadě je koeficient autokorelace. Nízké a nevýznamné hodnoty koeficientu autokorelace umožňují přistoupit k výpočtu koeficientu korelace.
   
3. 
   Výpočet koeficientu korelace náhodných složek
   
   x₁, x₂, …, x_n = časová řada jednoho ukazatele
   x´₁, x´₂, …, x´_n = vyrovnané hodnoty
   y₁, y₂, …, y_n = časová řada druhého ukazatele
   y´₁, y´₂, …, y´_n = vyrovnané hodnoty
   t = 1, 2, 3, …, n = čas
   

Harmonická analýza

V některých časových řadách se přísně pravidelně odchylují skutečné hodnoty od celkové tendence. Graf připomíná spojité periodické funkce goniometrického typu, z nichž nejčastější je sinusoida. Souhrn postupů používaných ke studiu vlnitých pohybů v přírodních jevech se nazývá harmonická analýza = nejvhodnější způsob analýzy periodicity u periodické časové řady – nejčastější je modifikace Fourierovy analýzy.

Indexní analýza
Na pomezí matematické statistiky a ekonomických teorií. Pomocí indexní analýzy srovnáváme ukazatele (např. počet pracovníků, spotřeba potravin, průměrná mzda), což provádíme pomocí podílů či rozdílů hodnot uvažovaného ukazatele.