1-varyant super kengaytma funktori

teorema. ochiq (mos ravishda yopiq) biektiv akslantirish gomeomorfizmdir.
natija. biektiv akslantirish gomeomorfizm bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va yetarlidir.
2-VARYANT

1. 
   Super kengaytma funktorining ba’zi xossalari.
   

Topologik fazoning super kengaytmasi tushunchasi De Groot tomonidan kiritilgan. Aytaylik fazoning bo`sh bo`lmagan yopiq qism to`plamlari oilasi bo`lsin.
Ta’rif: Agar sistemaning ixtiyoriy 2 ta elementi har doim bo`sh bo`lmagan kesishmaga ega bo`lsa г holda bu sistemaga zanjirlangan deyiladi.
Misol: zanjirlangan sistemaga misol sifatida ixtiyoriy uchburchakning tomonlaridan iborat bo`lgan sistemani olishimiz mumkin. Demak, uchburchakning tomanlaridan iborat sistemasini qaraylik. Bu tomonlar uchun munosabatlar o`rinlidir.
Teorema: fazo super kompakt bo`ladi faqat va faqat shu holdaki, agar unda shuday oldbaza mavjud bo`lib uning har qanday zanjirlangan qism sistemasi bo`sh bo`lmagan kesishmaga ega bo`lsa.
Ta’rif: O(U) ko`rinishdagi to`plamlar oilasi fazoni qoplaydi. Shuning uchun da topologiyaning ochiq old bazasini hosil qiladi. Bu old baza orqali aniqlangan topologiya Volmen topologiyasi deyiladi. Volmen topologiyasi bilan birgalikda to`plami fazoning super kengaytmasi deyiladi.
Natija: fazoning super kengaytmasi super kompaktdir.
Teorema: Har qanday fazoning super kengaytmasi super kompaktdir.
Isbot: turdagi to`plamlardan tashkil topgan yopiq oldbaza. sistemasi ulangan bo`lsin. U holda sistemasi ham zanjirlangan o`zida saqlaydigan har qanday maksimal zanjirlangan sistemani ga tegishliligini tekshirish qiyin emas.
Tasdiq: super kengaytma deyarli hech qachon fazoning kengaytmasi bo`lmaydi. Shunday, agar bikompakt hech bo`lmaganda uch nuqtaga ega bo`lsa u holda u o`zining super kengaytmasining o`z qism to`plami. Rostan ham, fazoning har xil nuqtalari bo`lsin. U holda shu nuqtalarning juftliklaridan tashkil topgan zanjirlangan sistema ga tegishli bo`lmagan fuksiyaning maksimal zanjirlangan sistemagacha to`ldiradi.
Agar X kompakt bo’lsa uning superkengaytmasi ham kompakt bo’ladi. kompaktida metrika bo’lsin. orqali to’plam atrofidagi yopiq -shartni belgilaylik. deb hisoblagan holda da metrikani aniqlaylik. Uni metrikaligini tekshiramiz.
Metrikaning 1- aksiomasi bajarilishi ravshan. Endi simmetriya aksiomasini bajarilishini tekshiramiz.
Agar va bo’lsa, 2.1.8 teoremaga ko’ra bo’ladigan to’plam mavjud. U holda F₁ to’plam uchun munosabat bajariladi, ya’ni o’rinlidir.
Uchburchak aksiomasini qanoatlantirishni ko’rsatamiz.
, bo’lsin. U holda toplamii uchun va larga egamiz. Ammo ning aniqlanishiga ─ to’plamda ikki karra eksponentadan Xausdorf metrikasi bilan ustma-ust tushadi. Shunday qilib ga izometrik joylashgan.