1-varyant super kengaytma funktori

Kovariant funktorlar. Misollar.

A va В kategoriyalar berilgan bo'lsin. A kategoriyaning har bir X obyektiga В kategoriyaning F(X) obyektini va A kategoriyaning har bir morfizmiga В kategoriyaning
morfizmini mos keltiruvchi bir akslantirish berilgan bo‘lib, agar u
1.
2. F(gf)=F(g)F(f) shartlarni qanoatlantirsa, u holda u kovariant funktor deyiladi. Bu ta’rifhing 1) va 2) shartlarini funktorning ko‘rgazmali ko‘rinishida quyidagicha ifodalash mumkin. A kategoriyada ixtiyoriy kommutativ diagramma В kategoriyaning kommutativ diagrammasiga akslanadi:

Agar kovariant funktor bo‘lsa, A kategoriya F funktorning aniqlanish sohasi, В esa, uning o‘zgarish yoki qiymatlari sohasi deyiladi.
Kovariant funktorga misol. 1) fazoning n o‘lchovli fundamental gruppasi va X fazoning n o‘lchovli gomologiyasi ni olsak, bu va lar ham kovariant funktorlar bo‘ladi.
2) G gruppalar kategoriyasini olaylik. Har bir G gruppaga uning kommutanti bo‘yicha olingan faktor gruppasini mos qo‘yaylik. faktor gruppa, bizga ma’lumki, abel gruppasini tashkil
qiladi. Har bir gomeomorfizmga, f gomeomorfizm orqali vujudga kelgan, formula bilan aniqlangan gomeomorfizmni mos qo‘yaylik. Natijada, gruppalar kategoriyasi G ni abel gruppalar kategoriyasi AG ga akslantiruvchi kovariant funktorga ega bo’ldik. Ko‘p hollarda bu funktor kommutirlangan funktor deb yuritiladi.

3. 
   Qanday shartda X va Y topologik fazolar gomeomorf bo’ladi?
   

gomeomorfizm mavjud bo’lsa.
Ta’rif. Agar va lar bir vaqtda o‘zaro uzluksiz bo‘lsa, biektiv akslantirish gomeomorf akslantirish yoki gomeomorfizm (ba’zi hollarda topologik akslantirish) deyiladi.
Topologik fazo bilan topologik fazo lar orasida kamida bitta gomeomorf (topologik) akslantirish mavjud bo‘lsa, birinchisi ikkinchisiga gomeomorf yoki topologik ekvivalent deyiladi. Topologik ekvivalent yoki gomeomorf fazolar yoki ko‘rinishda belgilanadi.
Gomeomorfizmga ayniy akslantirishni trivial misol qilib keltirsa bo‘ladi. Shuning bilan birga, tekshirib ko‘rish mumkinki, to‘g‘ri chiziqda aniqlangan ixtiyoriy monoton funksiya ham gomeomorf akslantirish bo‘ladi.