11-sinf hosila va uning tadbig'i Kirish Reja

Qisman hosilalar

2.1 Qisman hosilalar

Ko'rib chiqilayotgan nuqtada bir nechta o'zgaruvchiga nisbatan bir nechta o'zgaruvchining qisman hosilasi boshqa o'zgaruvchilarni (doimiy) hisobga olgan holda, ushbu o'zgaruvchiga nisbatan oddiy hosila deb ataladi. Masalan,  nuqtadagi ikkita o'zgaruvchining funksiyasi uchun  qisman hosilalar quyidagicha aniqlanadi:

,

,

agar bu chegaralar mavjud bo'lsa.

Qiymat argument tomonidan nuqtada z funktsiyasining qisman o'sishi  deb ataladi . Qisman hosilalar uchun boshqa belgilar ham qo'llaniladi: , , , , , , , . Belgilar , , ,





kasrlarni qanday izohlab bo'lmaydi (bu bitta o'zgaruvchining holatidan farqi).

Ta'rif ikki o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilasining geometrik ma'nosini nazarda tutadi: qisman hosila  - bu sirtning kesishish chizig'iga  va mos keladigan nuqtadagi tekislikka teginishning qiyaligi . O'zgaruvchining o'zgarish tezligi tushunchasidan foydalanib, qisman hosila bu funktsiyaning doimiyga nisbatan o'zgarish tezligi deb aytishimiz mumkin . Qisman hosilalarning ta'rifidan kelib chiqadiki, ularni hisoblash qoidalari bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan bir xil bo'lib qoladi va faqat hosila qaysi o'zgaruvchi uchun qidirilayotganini eslash kerak. Misol 1. Agar , keyin



,  .

Misol 2. Agar  , keyin  ,  . Qiymat  ideal gazning izotermik elastiklik koeffitsienti deb ataladi.

Uch yoki undan ortiq mustaqil o‘zgaruvchilar funksiyasining qisman hosilalari xuddi shunday tarzda aniqlanadi va belgilanadi.


2.2 To'liq differentsial

. ( .ya'nibo'lsamumkinifodalanishiko'rinishida______)1(

o'sishAgar

)1 va chiziqli bog'liq bo'lgan qism bu funktsiyaning nuqtadagi to'liq differensiali (yoki oddiygina differensiali ) deb ataladi va bilan belgilanadi. belgisi :. _ (3)

 

 

. (4) Nuqtada qisman hosila borligi xuddi shunday isbotlangan . (5) (4) va (5) formulalardan foydalanib, (3) ifodani quyidagicha qayta yozishimiz mumkin . Agar qo'ysak , u holda , ya'ni. . Xuddi shunday, deb faraz qilsak, biz ham olamiz . Demak, mustaqil o'zgaruvchilarning differensiallari bu o'zgaruvchilarning o'sishiga to'g'ri keladi va biz (3) differensialni quyidagi ko'rinishda yozishimiz mumkin: . Teorema (differensiallik uchun yetarli shart). Agar funktsiya











nuqtaning ba'zi qo'shnilarida qisman türevleri bor  va bu hosilalar nuqtaning o'zida uzluksiz bo'lsa  , u holda bu funktsiya nuqtada diferensiallanadi  .

Isbot . Keling, o'zgaruvchilarni  va  shunday kichik o'sishlarni beraylik  va  nuqta nuqtaning  belgilangan qo'shnisidan tashqariga chiqmasligi uchun  . Umumiy o'sish  quyidagicha yozilishi mumkin  .

Ushbu farqlarning har biri funktsiyaning qisman o'sishini anglatadi. Ushbu farqlarning har birini Lagrange formulasiga muvofiq o'zgartiradi. Biz quyidagilarga erishamiz:

  (6) va

hosilalari nuqtada uzluksiz bo'lganligi sababli, u holda , Demak , , qaerda va



- , uchun cheksiz kichik  . Ushbu qiymatlarni tenglikka (6) almashtirib, biz:

ni topamiz

va bu funktsiya  nuqtada differentsiallanishini anglatadi  .