11-sinf hosila va uning tadbig'i Kirish Reja

2.3 Murakkab funktsiyaning hosilalari va differentsiallari

Keling ,  qayerda  ,.  Keyin oxir-oqibat z bitta t o'zgaruvchining funktsiyasi bo'ladi .  ,  uzluksiz va mavjud  , deb faraz qilaylik  . Keling , topamiz  . Keling, t o'zgaruvchisiga o'sishni beraylik  . Keyin x , y va demak , z o'z o'sishlarini  oladi  va  . Differensiallikning etarli sharti tufayli

,

qaerdan

.

Keling, endi nolga o'taylik  . Keyin  va  nolga moyil bo'ladi, chunki x va y funktsiyalari uzluksiz (biz va hosilalarining mavjudligini taxmin qildik ) va  shuning uchun nolga intiladi. Limitda biz quyidagilarni olamiz: , yoki, qisqasi, . (7) Formula (7) kompleks funksiya hosilasi formulasi deyiladi . 1-misol. , , bo'lsin . Formula (7) bo'yicha bizda: . Faraz qilaylik, xususan, mustaqil o'zgaruvchining rolini, ya'ni. funktsiyasini ko'rib chiqing , bu erda . Formula (7) bo'yicha bizda bo'ladi: , (8) dan beri . Formulada (8) - ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining birinchi argumentiga nisbatan qisman hosila va













- bitta o'zgaruvchining kompleks funksiyasining odatiy hosilasi x :  . Oxirgi hosila funktsiyaning umumiy hosilasi deb ataladi. Qachon bo'lsa  , qaerda  , xuddi shunday oladi:



(  - funksiyaning ikkinchi argumentiga nisbatan qisman hosila  ,  - bitta o'zgaruvchining funksiyasining umumiy hosilasi y:  ).

Endi  ,  (bu erda funksiyalarning birinchi hosilalari mavjudligini faraz qilamiz va  ga  nisbatan ). Bunday holda, z ikkita mustaqil o'zgaruvchining funktsiyasi bo'ladi va . Shuning uchun, bu holat uchun formula (7) kabi qayta yozilishi kerak . (9)



Xuddi shunday

. (10)

2-misol. Agar  , qayerdan  , dan  ,  .

(9) va (10) formulalardan ko'rinib turibdiki, qisman hosila belgisi, yuqorida qayd etilganidek, kasr sifatida talqin qilinishi mumkin emas. Haqiqatan ham, agar  va ga kamaytirish mumkin bo'lsa  , (9) va (10) formulalardan biz buni

va ni olamiz  .


Xulosa
Yuqori darajali qisman hosilalar bilan bog'liq ta'riflar va belgilar uch yoki undan ortiq o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lgan funktsiyalar uchun amal qiladi. Taqqoslanayotgan hosilalar uzluksiz bo'lishi sharti bilan, amalga oshirilayotgan differentsiatsiyalar tartibini o'zgartirish imkoniyati ham o'z kuchida qoladi.