4-ma’ruza. O’lchovning umumiy ta’rifi. O’lchovni Lebeg sxemasi bo’yicha davom ettirish (2 soat). Darsning rejasi

O‘lchovni Lebeg ma’nosida davom ettirish.
Birli (birlik elementli) yarim halqada aniqlangan o‘lchovni Lebeg ma’nosida davom ettirish. Agar yarim halqada aniqlangan o‘lchov additivlik xossasiga ega bo‘lib, ammo additiv bo‘lmasa, u holda ning dan ga davomi bilan o‘lchovni davom ettirish jarayoni tugaydi, ya’ni o‘lchovni dan kengroq sinfga davom ettirib bo‘lmaydi. Agar da aniqlangan o‘lchov additiv bo‘lsa, u holda ni dan ga nisbatan kengroq bo‘lgan va qandaydir ma’noda maksimal sinfga davom ettirish mumkin.
Bizga biror birli yarim halqada aniqlangan additiv o‘lchov berilgan bo‘lsin va to‘plam halqaning biri bo‘lsin. ning barcha qism to‘plamlaridan tashkil bo‘lgan sistemada tashqi o‘lchov deb ataluvchi funksiyani quyidagi usulda aniqlaymiz.
7.1-ta’rif. Ixtiyoriy to‘plam uchun

son to‘plamning tashqi o‘lchovi deb ataladi, bu yerda aniq quyi chegara to‘plamni qoplovchi barcha chekli yoki sanoqli to‘plamlar sistemasi bo‘yicha olinadi.
7.1-teorema. (Sanoqli yarim additivlik). Agar va sanoqlita to‘plamlar uchun

bo‘lsa, u holda

7.2-ta’rif. Agar to‘plam va istalgan uchun shunday to‘plam mavjud bo‘lib,

tengsizlik bajarilsa, (Lebeg ma’nosida) o‘lchovli to‘plam deyiladi.
Faqat o‘lchovli to‘plamlar sinfida aniqlangan funksiya Lebeg o‘lchovi deb ataladi va u harfi bilan belgilanadi. Ravshanki, va dan olingan to‘plamlar o‘lchovli bo‘ladi. Bunda, agar va bo‘lsa, u holda

Agar o‘lchovli to‘plam va tengsizlikni qanoatlantiruvchi to‘plam berilgan bo‘lsa,

tenglikdan ning to‘ldiruvchi to‘plami ning ham o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi.