4-ma’ruza. O’lchovning umumiy ta’rifi. O’lchovni Lebeg sxemasi bo’yicha davom ettirish (2 soat). Darsning rejasi

4.2-misol. kesmadagi barcha ratsional sonlar to‘plamini bilan belgilaymiz. orqali ning intervallar, kesmalar va yarim intervallar bilan kesishmalaridan iborat to‘plamlar sistemasini belgilaymiz. Ko‘rsatish mumkinki, yarim halqa bo‘ladi. Agar desak, har bir to‘plamga

sonni mos qo‘yish mumkin. Bu to‘plam funksiyasi additiv o‘lchov bo‘ladi, ammo additiv bo‘lmaydi. Chunki kesmadagi barcha ratsional sonlar to‘plami sanoqli, ya’ni tenglik o‘rinli. Birinchidan to‘plam uchun bo‘ladi, ikkinchi tomondan o‘zaro kesishmaydigan sanoqlita nol o‘lchovli to‘plamlarning yig‘indisidan iborat bo‘ladi, ya’ni

Ushbu 6- da va 7- da qaralayorgan o‘lchovlarni additiv o‘lchovlar deb hisoblaymiz.
4.3-teorema. Agar yarim halqada aniqlangan o‘lchov additiv bo‘lsa, u holda bu o‘lchovning ni o‘zida saqlovchi minimal halqa) halqaga davomi ham additiv o‘lchov bo‘ladi.
Demak, agar yarim halqada additiv o‘lchov aniqlangan bo‘lsa, u holda uning halqaga davomi ham additiv o‘lchov bo‘ladi. Shuning uchun, boshidan o‘lchovni biror halqada aniqlangan deb qarash mumkin.
4.4-teorema. Biror halqada - additiv o‘lchov berilgan bo‘lib, va to‘plamlar ga tegishli bo‘lsin.
Agar va da bo‘lsa, u holda

tengsizlik o‘rinli;
(sanoqli yarim additivlik). Agar bo‘lsa, u holda

tengsizlik o‘rinli.
4.1-eslatma. Ko‘rinib turibdiki, 4.4 - teoremaning tasdig‘i o‘rinli bo‘lishi qaralayotgan o‘lchovning -additivligiga bog‘liq emas, shuning uchun ixtiyoriy additiv o‘lchov uchun ham bu tasdiq o‘rinli bo‘ladi. Aksincha, tasdiqda o‘lchovning - additivlik xossasi muhim ahamiyatga egadir. Haqiqatan ham, yuqorida qaralgan 4.2-misolda - additiv bo‘lmagan o‘lchovda, o‘lchovi ga teng to‘plam o‘lchovlari ga teng bitta nuqtali to‘plamlar yig‘indisida saqlanadi, ammo tasdiq bajarilmaydi. Bundan tashqari shunga ishonch hosil qilish mumkinki, xossa umuman olganda - additivlik xossasiga teng kuchli. Haqiqatan ham, yarim halqada aniqlangan biror o‘lchov berilgan bo‘lsin. sanoqli sondagi to‘plamlar dan olingan bo‘lib, to‘plamlar o‘zaro kesishmasin va tenglik bajarilsin. U holda har qanday o‘chov xossaga ega bo‘lganligi sababli

tengsizlik bajariladi. Bundan tashqari, agar o‘lchov xossaga ham ega bo‘lsa, u holda (chunki lar ni qoplaydi)

tengsizlik ham bajariladi. Shuning uchun

tenglik o‘rinli. Demak, o‘lchovning sanoqli yarim additivligi uning - additivligini ta’minlar ekan.