4-ma’ruza. O’lchovning umumiy ta’rifi. O’lchovni Lebeg sxemasi bo’yicha davom ettirish (2 soat). Darsning rejasi

Eslatma. yoyilmadan , ya’ni tenglik kelib chiqadi.
4.1. O‘lchovni yarim halqadan undan hosil bo‘lgan minimal halqaga davom ettirish. Tekislikdagi to‘plamlar Lebeg o‘lchovini aniqlash uchun dastlab, bu o‘lchovni to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi (yarim halqa) dan elementar to‘plamlar sistemasi (undan hosil bo‘lgan minimal halqa) ga davom ettirgan edik. Biz ushbu konstruksiyaga o‘xshash, ammo umumiyroq bo’lgan “konstruksiya”ni qaraymiz.
4.2-ta’rif. Agar o‘lchovning aniqlanish sohasi ikkinchi o‘lchovning aniqlanish sohasi da saqlansa ( ) va ixtiyoriy to‘plam uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda o‘lchov o‘lchovning davomi deyiladi.
4.1-teorema. Aniqlanish sohasi yarim halqa bo‘lgan har bir o‘lchov uchun aniqlanish sohasi ni o‘zida saqlovchi minimal halqa) bo‘lgan yagona o’lchov mavjud.
4.2-teorema. Biror halqada aniqlangan o‘lchov va ga tegishli to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
I. Agar

bo‘lsa, u holda

tengsizlik bajariladi;
II. Agar bo‘lsa, u holda

tengsizlik bajariladi. Xususan, agar va bo‘lsa, bo‘ladi.
4.3-ta’rif. Agar sistemada aniqlangan o‘lchov va ixtiyoriy o‘zaro kesishmaydigan sanoqlita to‘plamlar uchun bo‘lganda

tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda o‘lchov sanoqli-additiv yoki additiv o‘lchov deb ataladi.
5- da tekislikdagi to‘plamlar uchun kiritilgan o‘lchov additiv (5.8-teorema) o‘lchovga misol bo‘ladi.
4.1-misol. Bizga ixtiyoriy sanoqli

to‘plam berilgan bo‘lsin. sonlarni shunday tanlaymizki,

bo‘lsin. Har bir to‘plamga

sonni mos qo‘yamiz. Aniqlanishiga ko‘ra, to‘plam funksiyasi o‘lchov bo‘ladi va ning barcha qism to‘plamlari o‘lchovli bo‘ladi. Bundan tashqari,
Endi ning o‘zaro kesishmaydigan sanoqlita ixtiyoriy qism to‘plamlarini olaylik va bo‘lsin. Aniqlanishiga ko‘ra,

va tenglik o‘ng tomonidagi qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun

tengliklar o‘rinli, ya’ni additiv o‘lchov bo‘ladi.