6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari

2-Misol.
funksiyaning tasvirini toping. 
► Ma’lumki,
 
. Agar bu yerda originalni 
differensiallash teoremasini qo’llasak 
|
yoki
. ◄
 
7-Teorema. 
(Originalni integrallash) Agar
bo’lsa, u holda 
(8) 
► Agar 
original bo’lsa,

---

6 
ham original bo’lib 
, 
tengliklar o’rinli. Agar 
bo’lsa,
ni differensiallab, originalni differensiallash teoremasiga asosan
, ya’ni 
ga ega bo’lamiz. Demak
◄ 
8-Teorema. 
(Tasvirni differensiallash)
 
Agar 
bo’lsa, u holda 
(9) 
► 
funksiya 
(
funksiyaning o’sish tezligi) yarim 
tekislikda analitik bo’lganligi uchun, uning ixtiyoriy tartibdagi hosilasi mavjud. 
Shunga asosan
funksiyadan hosila olsak,
( 
)
( )
demak, 
 
 
(9) formulani keltirib chiqarish uchun induktsiya usulini qo’llash mumkin. ◄ 
3-Misol.
funksiyaning tasvirini toping 
► Buning uchun 
funksiyalarning tasvirlarini yuqoridagi teoremaga 
asosan topamiz 
(
)
 
(
)
 
va hokazo bu jarayonni 
marta takrorlasak 
ni hosil qilamiz
. 
Agar bu yerda siljish teoremasini qo’llasak 
bo’ladi.◄ 
4-Misol.
Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini tasvirni differensiallash 
teoremasidan foydalanib hisoblang. 
►a) 
. Tasvirni differensiallash teoremasiga asosan 
(
)
 
b) 
 
(
)
 
c) 
(
)
a)

---

7 
(
)
munosabatlarni hosil qilamiz. ◄ 
9-Teorema.
(Tasvirni integrallash) Agar 
va
original 
bo’lsa, u holda 
(10) 
► 
bo’lsin. 
funksiyani (
yarim tekislikda 
analitik) differensiallab topamiz
Bu tenglikni 
da integrallasak 
 
1-Teoremaning natijasiga ko’ra
va
 
ya’ni 
◄