6 -ma’ruza Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. Operatsion hisobning asosiy teoremalari

---

1 
6 -ma’ruza
Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi. 
Operatsion hisobning asosiy teoremalari 
Ma’ruza rejasi:
1.
 Laplas almashtirishi.
2.
 Original va tasvir.
 

3.
 Operatsion hisobning asosiy teoremalari. 
Laplas almashtirishi 
Haqiqiy o’zgaruvchili 
funksiyaning Laplas almashtirishi deb
(1) 
formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili 
funksiyaga aytiladi, bu 
yerda 
Integral kompleks 
parametrga bog’liq bo’lib, unga Laplas integrali 
deyiladi. 
funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral 
yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror 
funksiyani aniqlasin? 
Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin: 
1.
funksiya 
da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz 
yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli); 
2.
Barcha 
larda
; 
3.
da 
| |
funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan 
oshmaydi, ya’ni shunday
va
mavjudki, barcha 
larda 
| |
(2) 
(2) tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha 
qiymatlarning quyi chegarasi
qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi. 
3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi. Bu shartni barcha 
chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha 
darajali funksiyalar 
qanoatlantiradi. 
Original va tasvir
1-Ta’rif. 
1-3
 
shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy
funksiya original 
deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi 
funksiya esa 
funksiyaning 
tasviri deb ataladi
 
Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni 
,
yoki
[ ]
ko’rinishda belgilaymiz. 
Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning 
aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi. 
Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali 
ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi. 
Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi 
funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz. 
1-Misol
. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping. 
► a) Birlik funksiya va uning tasviri. 

---

2 
Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz: 
{
Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz
|
 
Bu tenglik 
shart bajarilganda o’rinli. Demak 
(3) 
Agar 
funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u 
holda
{
funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi. 
(3) tenglikda 
ko’paytuvchini ko’paytuvchini tushirib qolamiz va 
funksiyani
da nolga teng deb hisoblaymiz. Bu holda
b) 
. 
Bu integral 
demak 
da yaqinlashuvchi va
ya’ni 
c) 
bu yerda 
ixtiyoriy haqiqiy son. 
Ma’lumki, 
[ 
] 
Shuning uchun ta’rif bo’yicha 
Shunday qilib
bu yerda 
c)
Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak 
munosabatni hosil qilamiz (tekshiring). 

---

3 
d)
, 
kompleks son. 
Ta’rifga ko’ra 
( 
)
Shunday qilib 
e)
Xuddi shu singari 
munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring); 
f)
, 
kompleks son
 
Shuning uchun 
bu yerda
| |
 
Demak,
g)
| |
(mashq sifatida tekshiring).◄ 
Endi har qanday original uchun tasvir mos kelishi haqidagi teoremaga 
o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli: