A gaziyev, I. Israilov, M. Yaxshiboyev

1.5- chizma.

C-A^B

1.6- chizma.

hamda ko‘paytmasi A_} о A, n... n^_nham yuqoridagiga o'xshash ta‘riflanadi.
6- ta‘rif. A to'plamning /?to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan tuzilgan C to‘plam A va В to‘plamlarning ayirmasi deyiladi va C= A\B kabi belgilanadi (1.5- chizma).
To‘plamlarning quyidagi xossalari 6- ta'rifdan bevosita kelib chiqadi:
9°. A\0 = A. 10°. 0\Л = 0. 1Г.А\А = 0.
Misoliar: 1) A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В = {0, 2, 4, 6, 8} bo‘lsa, C = A\B = {1, 3, 5, 7} bo'ladi;
2) A = {±2, ±4, ±6, ±8, ...}, В = {±3, ±6, ±9, ±12, ...} bo‘lsa, C = A\B = {±2, ±4, ±8, ±10, ...} bo‘ladi.
7- ta‘rif. A to‘plamning В to‘plamga tegishli bo‘lmagan elementlaridan va 5to‘plamning A to‘plamga tegishli bo‘lmagan elementlaridan tuzilgan C to‘plam A va В to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deb ataladi va С = A △ В kabi belgilanadi, ya‘ni AAB = (A\B) о (B\A) (1.6-chizma).

Misoliar: 1) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В = {6, 7, 8, 9, 10} bo‘lsa, АДВ = {1, 2, 3, 4, 5} и {8, 9, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10} bo‘ladi;
2) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}, В = {3, 5, 7, 9, 11, ...} bo‘lsa, AkB = {2, 4, 8, ...} u {3, 5, 7, 9, ...} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} bo‘ladi.

8. 
   ta‘rif. Birinchi element Xto‘plamga va ikkinchi element Y to‘plamga kirgan barcha (x, y) juftlardan iborat bo‘lgan nuqtalar to‘plami Xva Yto‘plamlaming Dekart (to ‘g ‘ri) ко ‘paytmasi deyiladi va u [X ,Y} yoki X x Y kabi belgidanadi, ya‘ni С = X x Y = = {(x, y):xe X, ye У}.
   

Eslatma. A to‘plamning o‘z-o‘ziga Dekart ko'paytmasi quyidagicha belgilanadi:
A xA = A² = {(x, y):xe A, ye A}.
Misollar: 1) A = {a, b, с}, В = {a, £} bo‘lsa, u holda A* В = {(a,a), (a,P), (b,a), (b,^), (c,a), (c,P)} bo‘ladi;

2. 
   A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} bo‘lsa, A to‘plamning A = A = A² Dekart ko‘paytmasi 100 ta elementdan iborat bo‘ladi.
   

Ax A = A² {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (9,7), (9,8), (9,9)}.

2. 
   Sonli to‘plamlar. Sanoq uchun ishlatiladigan sonlar natural sonlar deb ataladi. Barcha natural sonlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 raqamlari yordamida hosil qilinadi. Natural sonlar to‘plami
   

N = {1, 2, 3, ..., n, ...} kabi belgilanadi.
Ishorasi natural sonlarning ishorasiga qarama-qarshi bo‘lgan sonlar manfiy natural sonlar deyiladi. Barcha manfiy natural sonlar, nol soni va barcha natural sonlardan iborat to‘plam butun sonlar to ‘plami deyiladi va u, odatda,
Z= {..., —n, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...}
kabi belgilanadi.
Ravshanki, natural sonlar to‘plami butun sonlar to‘plamining qism to‘plamidir: NcZ.
Qisqarmaydigan kasr ko‘rinishda tasvirlanadigan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional sonlar to‘plami
Q = \ x . x = —, pe Z, qe N -
Я
kabi belgilanadi.
Ravshanki, Z c Q, demak, N c Q chunki, TV c Z. Jumladan, agar 4=1 bo‘lsa, TV c Q bo‘ladi.
Matematikada faqat ratsional sonlar bilan emas, balki boshqacha tabiatli sonlar bilan ham ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Masalan: a) tomoni bir birlikka teng boMgan kvadrat diagonalining uzunligini topish talab qilingan bo‘lsin. Pifagor teoremasiga asosan, ^P+1^2. r son butun son bo‘lishi mumkin emas, chunki 1²=1, 2²=4, 3²=9 va h.k. r soni kasr son ham bo‘lishi mumkin emas: agar _ p 2 p^2
r~ qisqarmas kasr bo'lsa (bu yerda 4*1), u holda ^r ~ ₂ v q
pl
ham qisqarmaydigan kasr bo‘ladi. Demak, ^₂ butun son bo‘lmaydi, shuning uchun u 2 ga teng bo‘lishi mumkin emas. Shunday qilib, kvadrat diagonalinig uzunligi ^/2 ga teng;

... . , . P
oddiy kasr, ya ni
4
b) aylana uzunligining diametrga nisbatini ifodalovchi л sonini ko‘rinishida tasvirlash mumkin emas.
d) ushbu 0,1010010001... kasrda birinchi 1 raqamidan keyin bitta nol, ikkinchi 1 raqamidan keyin ikkita nol, uchinchi 1 raqamidan keyin uchta nol turibdi va h.k.
Yuqoridagi a), b) va d) hollardagi keltirilgan sonlar, ya‘ni cheksiz o‘nli nodavriy kasrlar, irratsional sonlar deyiladi va irratsional sonlar to‘plami 1 bilan belgilanadi.
Ratsional va irratsional sonlar to‘plamining birlashmasi haqiqiy sonlar deyiladi va A¹ bilan belgilanadi, ya‘ni R^l = 0uL
Osonlik bilan ko‘rish mumkinki, R^Q^J, R^l\l—Q, R'^Q=Q. QnJ=0, Ы. Q^R' bo‘ladi.
4. Son o‘qi. Biror / to'g‘ri chiziqda ixtiyoriy О nuqtani belgilab (O nuqta sanoq boshi), so‘ngra [0; 1 ] birlik kesmani tanlaymiz va yo'nalishni belgilaymiz. Bunday holda koordinata to‘g‘ri chizig‘i, y£rn__son o‘qi berilgan deyiladi (1.7- chizma). Har bir natural yoki kasr songa to‘g‘ri chiziqda bitta nuqta mos keladi. Masalan, 5 soni berilgan bo‘lsin. О nuqtadan (sanoq boshidan) berilgan
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1.7- chizma.

yo‘nalishda birlik kesmani 5 marta qo‘yamiz. Natijada, A nuqtani hosil qilamiz, bu nuqta 5 soniga mos keladi. 31 sonini olaylik, О nuqtadan berilgan yo‘nalishda birlik kesmani 3 marta, so‘ngra birlik kesmaning | qismini qo‘yamiz. Natijada В nuqtani hosil qilamiz. Bu nuqta 31 soniga mos keladi.
Agar I to‘g‘ri chiziqning M nuqtasi biror r songa mos kelsa, bu son Mnuqtaning koordinatasi deyiladi va u M(r) kabi belgilanadi. Masalan, A va В nuqtalaming koordinatalari mos ravishda 5 va 3 *
sonlaridan iborat bo‘ladi, ya‘ni A(5), B(3 ? ). Sanoq boshi О nuqtaning koordinatasi nol sonidan iborat bo‘ladi: 0(0).
Endi birlik kesmani О nuqtadan boshlab berilgan yo‘nalishga qarama-qarshi yo'nalishda 5 marta qo‘yamiz. Sanoq boshi О ga nisbatan A nuqtaga simmetrik A' nuqtani hosil qilamiz. A' nuqtaning koordinatasi —5 soni bo‘ladi, ya‘ni A' (—5). Shunga o'xshash, В nuqtaga simmetrik B' nuqtaning koordinatasi — 3 ’
soni topiladi. 5 va —5, 3 va — 3 * sonlari, mos ravishda, qarama- qarshi sonlar deb ataladi. Koordinata to‘g‘ri chizig¹ ida berilgan yo‘nalishdajoylashgan nuqtalarga mos keluvchi sonlar musbat sonlar deyiladi. Koordinata to‘g‘ri chizig‘ida berilgan yo‘nalishga qarama- qarshi yo‘nalishda joylashgan nuqtalarga mos keluvchi sonlar manfiy sonlar deyiladi.
Eslatma. Koordinata boshi О nuqtaga mos kelgan „0“ (nol) soni musbat ham, manfiy ham hisoblanmaydi, u koordinata to‘g‘ri chizig‘idagi musbat koordinatali nuqtalami manfiy koordinatali nuqtalardan ajratib turadi.
Koordinata to‘g‘ri chizig‘idagi berilgan yo‘nalishni (odatda u o‘ng tomonga yo‘nalgandir) musbat, berilgan yo‘nalishga qarama- qarshi yo‘nalishni esa manfiy yo ‘nalish deyiladi.