Akademik darajasini olish uchun bitiruv malakaviy ishi

Yechish:

Elementar yacheykaning hajmi miqdor jihatdan _ va _ vektorlarning aralash ko’paytmasidan iborat bo’ladi:

yoki

Bu yerda _ va b.-uchta _ vektorlarning o’zaro perpendikulyar bo’lgan koordinata o’qlardagi proyeksiyasi. (*) formulaning o’ng va chap tomonlarini kvadratga ko’taramiz:

Yig’indini diterminantdagi skalyar kupaytma bilan almashtirib quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
_.

Diterminantni yoyib chiqib ushbuga ega bo’lamiz:

23. 
    Triklin sistemaning elementar yacheykasi hajmini hisoblash formulasidan foydalanib, 1) monoklin, 2) geksagonal va 3) romboedr sistemalarning elementar yacheykasi hajmini hisoblash formulasini keltirib chiqaring.
    

Yechish:

1) M o n o k l i n s i s t e m a s i d a _ U holda

2) Geksagonal sistemada _ Bu holda

3) Romboedrik sistemada _

U holda _
24. Panjara parametrlari bo’lgan magniy kristallining 1 sm³ da nechta elementar yacheyka bor.

Yechish:

Magniyning panjarasi geksagonal sistemaga oid bo’lganligi sababli, uning elementar yacheykasi hajmi

Bu yerdan _dagi elementar yacheykalar sonini topamiz:

25. Magniyning elementar yacheykasi geksagonal sistemaga tegishli va parametrlarga ega. Teskari panjara vektorlarini aniqlang.

Yechish:

Teskari panjara vektorlari quyidagicha aniqlanadi:

V- elementar yacheyka hajmi. _ bo’lganligi sababli geksagonal panjara elementar yacheykasi hajmi

_bo’lganligidan

va

Bo’ladi, u holda

_{ 
 
 }

26. Hajmi markazlashgan kub panjaraning teskari tomonlari markazlashgan kub panjara bo’lishini ko’rsating.

Yechish:

Dastlab teskari kub panjaraning oddiy kub panjarasi kabi bo’lishini ko’rsatamiz. Buning uchun burchaklar o’rtasidagi munosabatlarni yozamiz:

_.

Shunday qilib kub panjarada _ u holda keltirilgan formulaga ko’ra _ bo’ladi.

Hajmi markazlashgan panjarada kubning qirralari bo’ylab yo’nalgan tekisliklar orasidagi masofa _ ga teng. O’z navbatida kubning to’g’ri panjarasi uchlaridagi atomlar teskari panjarada bir-biridan _ masofada joylashadi.

31-rasm. 32-rasm.

Bundan tashqari hajmi markazlashgan kub panjarada uchta tekisliklar sistemasi mavjud (110),(011) va (101) bo’lib, ular bir-biridan _ masofada joylashgan bo’ladi. Masalan, teskari panjaradagi (110) tekisliklar oilasiga (31-rasm) (110) yo’nalishdagi koordinata boshidan _ masofada joylashagan nuqta mos keladi (32-rasm). Bu nuqta teskari panjaradagi (001) tomonning markaziga mos tushadi.

27. Agar bo’lsa, kalsiyning (CaCO₂) romboedr kristalli uchun teskari panjaraning vektorlarini toping.

Yechish:

Romboedrik panjarada _ va _ bo’ladi. Bunday holatda (27-masalaga qarang) teskari panjara ham xuddi romboedrik panjaradagi kabi bo’ladi, ya’ni

_ va _.

Elemantar yacheyka panjarasi hajmini topamiz:

_.

Teskari panjara vektori

Bulsa , u holda

Bundan _

28. Teskari panjaraning koordinata boshidan hkl nuqtasiga o’tkazilgan r*_hkl vektor uzunligining teskari qiymati, kristall panjarasining (hkl) tekisliklari orasidagi masofaga teng ekanligini isbotlang.

Yechish:

_ tekislikka tushirilgan normal _ birlik vektor orqali ifodalansa, u holda tekisliklar orasidagi masofa

Ammo

_.

U holda

Ma’lumki _,

U holda

Shunday qilib

29. (Al₂O₃∙SiO₂) kianitning triklin panjarasidagi elementar yacheykaning a,b,c parametrlari va burchaklari mos ravishda 7,09; 7,72; 5,56 Ǻ 90⁰ 55^´ ; 101⁰ 2^´ ; 105⁰ 44^´ ga teng. (102) tekisliklar orasidagi masofani aniqlang.

Yechish:

In­deksi _(hkl)bo’lgan tekisliklar orasidagi masofa teskari fazoda koordinata boshi _(hkl) o’tuvchi nuqta bilan tutashtiruvchi _ vektorning uzunligini aniqlash bilan topiladi. Bunda

Xuddi shunday

_,

bu yerda _ - teskari panjaraning birlik vektori, u holda (30 masalaga qarang) quyidagini yozish mumkin:

Teskari panjara vektori asosiy panjara vektori orqali quyidagicha ifodalanadi:

Bu yerda V -a, b va s vektorlar yordamida qurilgan elementar yacheykaning hajmi. U holda

Belgilash kiritamiz

Vektorli va aralash kupaytirish formulalari yordamida:

Quyidagini hosil qilamiz

Bu yerda

Biz qarayotgan holda _ Shu sababli formula ancha soddalashadi:

bundan

Quyidagi qiymatlarni hisoblaymiz:

_89<sub>

</sub>74_

Elementar yacheykaning hajmi

_.

_=7.09^½ _

U holda

30. a parametrli kub panjarada (100), (110), (111) tekisliklar orasidagi masofa qanchaga teng.

Yechish:

Kub panjaradagi tekistliklar orasidagi masofa quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

Bunda

31. Panjara parametrlari , bo’lgan romb oltingugurtdagi (201) va (310) tekisliklar orasidagi burchakni aniqlang.

Yechish:

Umumiy holda (h₁k₁l₁) va (h₂k₂l₂) tekisliklar o’rtasidagi burchak xuddi teskari panjara ikkita vektorlari orasidagi burchakni topish kabi aniqlanadi:

U holda

Bu yerda

Bo’lsa, u holda

Vektor kupaytmani ochib chiqamiz:

Bu yerda _ 31 masaladagidek qiymatlarni qabul qiladi. U holda

Yoki _ va _ ga ularning qiymatlarini (32 masaladagi) keltirib qo’ysak,

Hosil qilingan formula yordamida ixtiyoriy kristallografik sistemadagi ikkita tekislik orasidagi burchakni topish mumkin.

Rombik sistemlarda, ya’ni _, formula ancha soddalashadi va quyidagicha ko’rinishga ega bo’ladi:



32. Panjara parametrlari bo’lgan galliyning tetroganal kristallining (110) va (102) tekisliklari orasidagi burchakni aniqlang.

Yechish:

Tetragonal kri­stallardagi tekisliklar orasidagi burchak (34 masaladagi ) umumiy formula yordamida hisoblanadi. Tetragonal panjaralar uchun _^{bo’lsa, u holda}

_




33. Kub kristallning (100) va (010) tomonlari hosil qilgan burchakni toping. Romboedr sistemada ikkita (h₁k₁l₁) va (h₂k₂l₂) tekisliklarning o’zaro perpendikulyarlik shartini aniqlang.

Yechish:

Kub kristallar uchun

Son qiymatlari qo’yilgandan so’ng

ya’ni, kub kristallarda (100) va (010) tekisliklar o’zaro perpen­dikulyar bo’lar ekan.

34. Parametrlari

bo’lgan triklin panjarada, [332] yo’nalish bo’ylab, koordinata boshidan birinchi atomgacha bo’lgan kesmaning uzunligini aniqlang.

Yechish:

Umumiy holda ikkita tekislik o’zaro perpendikulyar bo’lishi uchun quyidagi shart bajarilishi kerak

Romboedrik sistemalarda _bo’lganligi uchun

Rom­boedrik sistemalarda ikkita tekislik o’zaro perpendikulyarlik sharti quyidagicha yoziladi:

35. Parametrlari

bo’lgan triklin panjarada, [332] yo’nalish bo’ylab, koordinata boshidan birinchi atomgacha bo’lgan kesmaning uzunligini aniqlang.

Yechish:

Aytaylik berilgan nuqtaning koordinatasi _ bo‘lsin. U holda _ vektor

affin koordinatalar sistemasida (33-rasm) quyidagi tenglik bilan aniqlanadi:



_ vektorni o’z-o’ziga skalyar ko’paytiramiz, ya’ni bu vektorni kvadratga ko’taramiz. Analitik geo­metriya formulalariga ko’ra

yoki yoyilgan ko’rinishi

Bo’lsa, u holda

Bu yerdan

g

33-rasm.