Amaliy matematika va informatika

Belousov-Jabotinskiy reaktsiya modelini soddalashtirishni ko’rib chiqaylik. Boshlash uchun, biz to’lqin tenglamani birinchi navbatda biz X bilan belgilagan brom kislotasi (HbrO2) va Y bilan belgilangan bromid ioni (Br^-) kontsentratsiyasiga bog’liq deb faraz qilamiz. Oksidlangan holat Ce(IV) Z bilan belgilanadi. Shuningdek, DX, DY diffuziya koeffitsientlari doimiy va DX = DY = D deb faraz qilamiz. Bundan tashqari, soddalik uchun faqat bitta fazo o’lchamini x hisobga olamiz.
Shuning uchun, agar Z konsentratsiyasini e’tiborsiz qoldirib, yuqoridagi taxminlarga e’tibor qaratsak, reaksion –diffuziya sistemasi quyidagicha bo’ladi:

(1.10)

Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

(1.11)

Bu yerda, r ildeic; 0 ≤u, v ≤1.
(1.11) o’zgartirishlar bilan (1.10) ildei quyidagi ko’rinishga keladi:

Eksperimental o’lchovlardan ma’lum bo’lishicha, r 10 dan 50 gacha o’zgarib turadi.
L ~ 8,4 × 10^-6, M ~ 2,1 × 10^-4 va b ~ 2,5 × 10.
U va v lar birinchi tartibli bo’lgani uchun sistemaning old qismini tashlab ketish mumkin:

(1.12)

Bu yerda x ∈ (−∞, ∞) va 0 ≤ u, v ≤ 1. Bizni qiziqtiradigan yechimlar berilgan shartlarni qanoatlantiradiganlaridir:

(1.13)

agar u = 1 – v va b = 1 – r, r ≤ 1 bo’lsa, tizim (1.12) yagona tenglamaga qisqarishini kuzatamiz:

(1.14)

Bu erda b = 1 – r. Bu tenglama Fisher tenglamasi deb ataladi va populyatsiya genetikasini o’rganishda yuzaga keladi.
Differensial tenglamalar yordamida kimyoviy masalalarni hisoblashni optimallashtirish usullarini amalga oshirish bo’yicha ma’lumotlarni ko’rib chiqaylik.
Misol tariqasida, bizda biokimyoviy tizimni ifodalovchi bir nechta chiziqli bo’lmagan ODT bor deylik, bunda ba’zi bir tirik organizmlar X kimyoviy birikmalar c₁, c₂, c₃ lar bilan oziqlanadi, ularda yashash va ko’payish uchun ma’lum energiya Ω₁, Ω₂, Ω₃ mavjud. Bu energiya vaqt bo’yicha o’zgaruvchan c₁(t), c₂(t), c₃(t) konsentratsiyasiga bog’liq:



_{ }=Ω₁(c₁,c₂,c₃)⋅X⋅c₁⋅α + Ω₂(c₁,c₂,c₃)⋅X⋅c₂⋅β + Ω₃(c₁,c₂,c₃)⋅X⋅c₃⋅γ
Bu yerda:
α+β+γ=1
Har bir vaqt oralig’ida optimallashtirish algoritmi maksimali topiladi:
max ( ( Ω₁(c₁,c₂,c₃)⋅X⋅c₁⋅α + Ω₂(c₁,c₂,c₃)⋅X⋅c₂⋅β + Ω₃(c₁,c₂,c₃)⋅X⋅c₃⋅γ )
ya’ni, X ning maksimal o’sishini topish uchun α, β, γ ning qiymatlarini topish kerak.
Faraz qilaylik, α, β, γ lar o’zgarmaslar(const) bo’lsin.
(1) va (2), (1) va (3) tenglamalarni bo’lish orqali masalani biroz soddalashtirishimiz mumkin:
_{ } ⟹ _{ } ⟹ lnc₁ – lnc₁|_t=0 = _{ } [lnc₂ – lnc₂|_t=0]
Bundan:
c₂=c₂(0) _{ }

1. 
   va (3) masala uchun ham xuddi shunday amallarni bajarib topamiz:
   

c₃=c₃(0) _{ } .