Amaliy matematika va informatika

Yosh strukturasi.
Yosh strukturasining standart shakli.
Diskret yondashuvning qisqacha takrorlanishi: x_k(j) t_j vaqtdagi k yosh sinfidagi populyatsiya soni bo’lsin, bu yerda t_j= hj; k yosh toifasi [kh,(k + 1)h] oralig’ini o'z ichiga oladi, dinamikasi quyidagicha:
x_k(j + 1) = P_k-1 x_k-1 (j), k > 0
Faraz qilaylik, P_k tirik qolish ehtimoli uzluksiz o’lim darajasi bilan bog’liq bo’lsin.
P_k = 1 − µ(kh)h + O(h²),
bu yerda µ(a) ∈ C⁰₊ o’lim darajasi µ(a) = 0 da chegaralangan deb hisoblanadi, ya’ni:

fКонец формы

Endi h → 0 holini ko‘rib chiqamiz. x_k (j) uzluksiz funksiya deb taxmin qilamiz:

u(a + h,t + h) = (1 − hµ(a) + O(h²))u(a,t) almashtirishlarni bajarsak ifoda quyidagi ko’rinishga olib kelinadi:

Bu ifodaga quyidagi tenglamaga mos keladi:

Limit h → 0 da aholining qarishi va o’lish vaqti u(a,t)da t davrdagi a va a+da yoshdagi shaxslar sonini ifodalaydi va t vaqtidagi umumiy populyatsiyani quyidagicha hisoblash mumkin:

Boshlang’ich va chegaraviy shartlar quyidagicha bo’ladi:


a > t uchun haqiqiy yosh tarkibi u(a,t) faqat boshlang’ich populyatsiya u₀(a) tomonidan ta’sirlanadi; a < t uchun u(a,t) yosh tarkibiga butun aholi va uning tug’ilishi ta'sir qiladi. Buni quyidagi tarzda tasvirlash mumkin:

Bu yerda ko’rinib turibdiki, individlar yosh-vaqt fazosida a = t+constant ko’rinishidagi xususiyatlar bo’yicha harakat qiladilar.
Yangi tug’ilgan chaqaloqlarning umumiy ko’rinishini ifodalovchi mos chegaraviy shartlarni ko’rib chiqaylik, u quyidagi ko’rinishda bo’ladi:


bu yerda F_k [kh,(k + 1)h] yosh oralig’ida kutilayotgan tug’ilish sonini bildiradi; Shubhasiz, Fk diskretizatsiya hajmi h ga bog'liq. 

bu yerda β(a) ∈ C⁰₊ (uzluksiz, manfiy bo’lmagan funksiyalar to’plami).
β(a) "onalik funktsiyasi" deb ataladi;
u a yoshidagi ayolga to’g’ri keladigan o’rtacha nasl sonini tavsiflaydi. Umuman olganda, onalik funktsiyasi vaqtga bog'liq (ya’ni β (a, t)) deb hisoblash mumkin, ammo hozircha biz bu erda vaqtga bog’liqlikni e’tiborsiz qoldiramiz. Keyingi taxmin: maksimal tug’ish yoshi bo’lsa bo’lsa bo’ladi.

Hammasi birgalikda yosh strukturasi modeli quyidagicha bo’ladi:

Bu yerda u(a,t) t vaqtida a yoshidagi aholi zichligini tavsiflaydi, β(a) resp. µ(a) tug'ilish davrini bildiradi. o'lim darajasi. u₀(a) - boshlang'ich shart. µ va β uchun quyidagi taxminlar amalga oshiriladi: