Amaliy matematika va informatika

1-masala. Bakteriyalar mavjud bakteriyalar soniga mutanosib ravishda ko'payadi. Agar dastlab 400 ta bakteriya boʻlsa va 3 soat ichida ikki baravar koʻpaysa, 7 soatdan keyin mavjud boʻlgan bakteriyalar sonini toping.
Yechilishi:
X bakteriyalar soni va uning t vaqt momentida hosil bo’lish darajasi dx/dt ga teng. Bakteriyalar soni uning darajasiga proporsional bo’lgani uchun:

Bu yerda k(k>0) proportsionallik konstantasi:

O’zgaruvchilarni ajratib quyidagi ko’rinishga keltiramiz:
_{ } (I)
Dastlab 400 ta bakteriya mavjud boʻlib, ular 3 soat ichida ikki barobarga koʻpayganligi sababli, (I) tenglamaning chap tomonini 400 dan 800 gacha integrallaymiz va uning oʻng tomonini 0 dan 3 gacha integrallaymiz va k qiymatini quyidagicha topamiz:

ln800-ln400=k(3-0)
k=1/3 * ln2
Topilgan k ning qiymatini (I) ga olib borib qo’yamiz:
_{ } (II)
Keyin, 7 soatdan keyin mavjud bakteriyalar sonini topish uchun (II) ning chap tomonini 400 dan x gacha integrallaymiz, o’ng tomonini esa 0 dan 7 gacha integrallaymiz:

lnx – ln400 = 1/3 * ln2 (7-0)
lnx = ln400 + 7/3 * ln2
lnx=ln(400* )
x=400*5.04=2016
Javob: x=2016.

Xulosa
Men bu kurs ishimning I bobida differensial tenglamalar bilan yechiladigan kimyoviy masalalar bo’yicha Belousov-Jabotinskiy reaksiyasi va modelini o’rganib chiqdim. Moddaning konsentratsiyasini topish masalasida berilgan sistemadan foydalanib differensial amallar yordamida masala yechimini izladim. Bundan tashqari I bobda bir nechta moddalarning aralashtirilishi natijasida boshqa bir moddaning hosil bo’lishi haqida masalani ham qaradim, bunda ma’lum vaqt davomida qancha miqdorda yangi modda paydo bo’lishini topdim.
Kurs ishimning II boibida esa xuddi shu tarzda biologik masalalarni o’rganib chiqdim, jumladan, biologik masalalarning modellari haqida to’xtalib o’tdim. Bunda, Zeeman modeli va uning formulalari haqida o’rganib chiqdim. Shu bilan birga differensial tenglamalar yordamida insonning biologik yosh strukturasi masalalari haqida ham ma’lumotlar keltirdim. Bakteriyaning parchalanishi haqidagi masalada esa ma’lum vaqt davomida qancha bakteriya hosil bo’lishi mumkinligini aniqladim.
Kimyoviy va biologik masalalarni matematik, xususan, differensial tenglamalar bilan yechish bir qancha qulayliklarga ega, chunki bunda aniq bir qonuniyatga asoslangan holda aniq sonlar bilan ish olib boriladi, lekin asosan bu tenglamarni ishlashda sonli usullardan foydalanishga va taqribiy qiymatlarni olishga to’g’ri keladi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. D. S. Jones, M. J. Plankand B.D. Sleeman. Differential Equations and Mathematical Biology Second Edition
2. N. Britton. Essential Mathematical Biology. Springer, London, 2003.
3. Christina Kuttler. Mathematical Models in Biology
4. Самойленко А. М., Кривошея с. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи
5. www.emathzone.com
6. math.stackexchange.com