Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini echish

Chiziqli tenglamalar sestemasini iteratsiya usullari bilan yechish
Reja:

1. 
   Iteratsion usullar.
   
2. 
   Iteratsion usullarning umumiy xarakteristikasi.
   
3. 
   Oddiy iteratsion usul.
   
4. 
   Zeydel usuli.
   
5. 
   Usullarning ishchi algoritmlari.
   

Tayanch iboralar:

Iteratsiya, statsonar, rekkurent, nostatsionar, xatolik, parametr, empirik, boshlangich yaqinlashish, diogonal elementlar, oshkor usul.

1. ITERATSION USULLAR

Bugunda turli tamoyil (printsip)larga asoslangan juda ko`plab iteratsion usullar mavjud. Umuman, bu usullarning, o`ziga xos tomonlaridan biri shundan iboratki, pul kuiilgan xatoliklari har kadamda to`g’rilanib boradi. Aniq usullar bilan ishlayotganda, agar biror kadamda xatoga pul kunilsa, bu xato oxirgi natijaga ham ta`sir kiladi. Yaqinlashuvchi iteratsion jarayonning biror kadamida yo`l qo`yilgan xatolik esa faqat bir necha iteratsiya kadamini ortikcha bajarishgagina olib keladi xolos. Biror kadamda yo`l qo`yilgan xatolik keyingi kadamlarda to`zatilib boriladi. Boz ustiga bu usullarning hisoblash tartibi sodda bo`lib, ularni EHM larda hisoblash qulaydir. Lekin har bir iteratsion usulning qo`llanish soxasi chegaralangandir. CHunki iteratsiya jarayoni berilgan tizim uchun o`zoklashi-shi yoki shuningdek, sekin yaqinlashishi mumkinki, buning okibatida amalda echimni konikarli aniqlikda topib bo`lmaydi.

Shuning uchun ham iteratsion usullarda faqat yaqinlashish masalasigina emas, balki yaqinlashish tezligi masalasi ham katta axamiyatga egadir. Yaqinlashish tezligi dastlabki yaqinlashish vektorining qulay tanlanishiga ham borlikdir.
Bu paragrafda avval iteratsion usullarning umumiy xarakteristikasini kurib chiqamiz, so`ngra esa hisoblash amaliyotida keng qo`llaniladigan iteratsion usullarni keltiramiz.
2. ITERATSION USULLARNING UMUMIY XARAKTERISTIKASI

Yuqorida kayd etilganidek, iteratsion usullar tizimning izla-ngan x echimiga yaqinlashadigan y₀, y₁, y₂, … iteratsion ketma-ketliklarni kurishga asoslangan. Har bir shunday usul navbatdagi y_k+1 yaqinlashishni avvalgilari yordamida hisoblashga imkon beradigan iteratsion formulalar bilan xarakterlanadi. eng sodda xolda y_k+1 ni hisoblashda faqat bitta avvalgi y_k iteratsiyadan foydalaniladi. Bunday usullar bir kadamli deyiladi. Bir kadamli usullar uchun iteratsion formulani quyidagi

(3.17)
standart kanonik ko`rinishda yozish qabul kilingan; bunda <sub>k+1</sub> - iteratsion parametrlar (<sub>k+1</sub>>0), B<sub>k+1</sub> – yordamchi maxsusmas matritsalar. Agar  va B lar k+1 indeksga bog’liq bo`lmasa, ya`ni (3.17) formula ixtiyoriy k lar uchun bir xil ko`rinishga ega bo`lsa, u xolda bu iteratsion usul statsionar usul deyiladi. Statsionar usullar hisob-lash jarayonini tashkil etish nuqtai nazaridan soddadir. Ammo nostatsionar usullar boshqa ustunliklarga ega: ular {<sub>k+1</sub>}, {B<sub>k+1</sub>} ketma-ketliklarni tanlash bilan boglangan kushimcha «erkinlik darajasiga» ega. Bundan y<sub>k</sub> iteratsiyalar tizimning x echimiga yaqinlashish tezligini oshirishda foydalanish mumkin.
(3.17) iteratsion formula yordamida navbatdagi y<sub>k+1</sub> yaqinlashishni topish ushbu
B<sub>k+1</sub> y<sub>k+1</sub> = F<sub>k+1</sub> (3.18)
tenglamalar tizimini echishni talab etadi. Bunda
F<sub>k+1</sub> = (B<sub>k+1</sub> - <sub>k+1</sub> A) y<sub>k</sub> + <sub>k+1</sub> f
Shunday hisoblashni kar bir kadamda bajarishga turri keladi. B<sub>k+1</sub> matritsa sifatida birlik B<sub>k+1</sub> = E matritsa olsak, iteratsion ketma-ketlik xadlarini hisoblash uchun eng sodda tarxga ega bula-miz. Bu xolda (3.17) formula ketma-ketlikning navbatdagi y<sub>k+1</sub> xadini uning avvalgi y<sub>k</sub> xadi orqali oshkor ifodalash imkonini beradi:
y<sub>k+1</sub> = y<sub>k</sub> - <sub>k+1</sub> A y<sub>k+1</sub> + <sub>k+1</sub> f (3.19)
Ana shunday rekkurent formulaga asoslangan iteratsion usullar oshkor usullar deyiladi.
Oshkormas usullar (B<sub>k+1</sub> E orasida B<sub>k+1</sub> matritsani uchburchakli kilib tanlanadigan usullar eng ko`p tarqalgan. Bu kolda navbatdagi y_k+1 iteratsiyani topish uchun y_k+1 ning komponentlarini (3.18) uchburchakli tizimdan birin-ketin Gauss usulining teskari yurishiga kilinganidek topishga keltiriladi.
Qandaydir iteratsion usulning qo`llanishi {y_k} ketma-ketlik tizimning x echimiga yaqinlashishni bildiradi:
(3.20)
(3.20) tenglik quyidagini anglatadi:
(3.21)
(3.21) dan kurinadiki, u vektorlar ketma-ketligining x vektorga yaqinlashishining zaruriy va etarli sharti kar bir komponentning yaqinlashuvchiligidan iborat:

Ushbu ayirma z_k = y_k - x xatolik deyiladi. y_k ni y_k = x + z_k ko`rinishda yozib va (3.17) ga kuyib, xatolik uchun,
(3.22)
iteratsion formulami hosil kilamiz. (3.17) dan farqli ularok, u tizimning ung tomoni (f) ni o`z ichiga olmaydi, ya`ni bir jinslidir. (3.20) yaqinlashishni talab etish z<sub>k</sub> ning nolga intilishi lozimligini anglatadi:
(3.23)
Har bir iteratsion usul yaqinlashuvchiligining etarlilik shartlari A, B<sub>k+1</sub> matritsalar va <sub>k+1</sub> iteratsion parametrlar kanoatlantirishi lozim bo`lgan ko`rinishda ifodalanadi. Ulardan ba`zilarini, ayniksa, iteratsion parametrlarni optimal tanlashga oid shartlarni tekshirish kiyin. Natijada hisoblashlarni bajarayotganda iteratsion parametrlarni ko`pincha tajriba yuli bilan (empirik) tanlashga turri keladi.