Əfəndiyev Elvin, Triqonometrik Furye sırasının nöqtədə və müntəzəm yığılması

Furye sırasının orta kvadratik yığılması

fəzasından bir f(x) funksyası götürək. Bildiyimiz kimi fəzasından olan ixtiyari iki funksya üçün skalyar hasil aşağıdakı kimi yazılır :


Furye sırasının n-ci xüsusi cəmi deyilir (bildiyimiz səralarda olduğu kimi).
Teorem(orta kvadratik yığılma) : İstənilən funksyasının Furye sırası onun özünə fəzasının normasında (yuxarıda yazmış olduğu skalyar hasilin doğurduğu normada) , yəni orta kvadratik mənada yığılır :
və ya

və Parserval bərabərliyi ödənir :

Orta kvadratik yığılmanı aşağıdakı kimi kompleks şəkildə də yazmaq olar :


Yəni ,

Furye sırasının nöqtədə yığılması

Furye sırasının nöqtədə yığılmağını araşdımaq üçün əvvəlcə bir neçə anlayışla tanış olaq. İstiyirəm ki,(elə uyğunu da budur ( ardıcıllığı izləyin biləcəksiz niyə ) ) ilk öncə Riman lemmasından başlayaq:
Lemma (Riyman) : Əgər inteqrallanan funksyası (a, b) intervalında mütləq inteqrallanandırsa (qeyri məxsusi mənada da olsa gedər) onda,

-i triqonometrik şəkildə yazmaqla Riyman lemmasından aşağıdakıları nəticə kimi almaq olar :

Furye sırasının xüsusi cəminin inteqralla təsviri :
Furye sırasının xüsusi cəmini inteqralla təsvir etmək üçün əvvəlcə aşağıdakı addımları atmalıyıq :

olsun bizim Furye sıramızın n – ci xüsusi cəmi . Hə indi isə, bu cəmdəki əmsalların əvəzinə bildiyimiz ifadələrini yazaq :

İndi aşağıdakı əvəzləmədən istifadə edək :

Bu halda Furye sırasının xüsusi cəmi üçün alarıq :

Bu bərabərliyin sağınadkı inteqrala Dirixle inteqralı deyilir. ilə işarə edilən

funksyasına isə Drixle nüvəsi deyilir.
olmağından aydındır ki, Drixle nüvəsi cüt funksyadır . O da düzdür ki, Drixle nüvəsi həmdə periodik funksyadır . Drixle funksyasının aşağıdakı özəlliyi də vardır (ixtiyari n təbii ədədi üçün):

hansıki bunu götürməklə asanlıqla göstərmək olar.(Hətta şifahi belə). İndi xüsusi cəmi Drixle nüvəsi ilə yazaq :

Və ya aşağıdakı kimi də yaza bilərik :

İndi aşağıdaki kimi bir tərif ə bxaq :
Tərif : Deyək ki, (tuta da bilərsiz) funksyası verilibdir. Bu f funksyası x nöqtəsində Dini şərtini ödəyir deyirlər o vaxt ki, aşağıdakı şərtləri ödəsin :

1. 
   x nöqtəsində f funksyasının birtərəfli limitləri olsun:
   

2. 
   aşağıdakı hər iki inteqrallar mütləq yığılsın (yəni mütləq qiyməti yığılan olsun)
   

heç olmazsa bir

Verilmiş aralıqda funksya hissə hissə kəsilməz diferensiallanandırsa onda o həm də həmin aralığın bütün nöqtələrində Dini şərtini ödəyir. Odur ki, növbəti təriflərdə (eləcə də teoremlərdə) funksya(lar)dan hissə hissə kəsilməzlik tələb olunarsa elə Dini şərtini tələb etmək kifayətdir və bizdə (mən) belə edəcik(əm).