Dicembre 2016 e ditoriale

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E

SAMI DI

S

TATO

2016

Nuova Secondaria - n. 4 2016 - Anno XXXIV - ISSN 1828-4582

calcolare il massimo errore dobbiamo trovare il massimo

della funzione V(z) − 100 z, ovvero della funzione

20(z – z

6

), z 

෈ [0,1].

Studiando il segno della derivata si trova 1 − 6 z

5

≥ 0, da

cui z ≤          . Quindi il valore di z in corrispondenza del

massimo si ottiene per z =

Ӎ 0,6988, metri, e il va-

lore massimo dell’errore vale

Ӎ 11,6%.

1. Osservando il grafico Γ di Figura 1 e sfruttando le in-

formazioni su f(x) possiamo dedurre che:

● A  è un punto a tangente verticale crescente 

⇒

lim

x→0

+ 

f '(x) = +∞ 

● f(x) è crescente in [0, 1] e [7, +∞) 

⇒ f'(x) ≥ 0 in (0, 1]

e [7, +∞)

● f(x) è decrescente in [1, 7] 

⇒ f'(x) ≤ 0 in [1, 7]

● B e E sono punti di massimo e minimo di f (x) 

⇒ f'(1)

= f '(7) = 0 

● f(x) è concava in [0, 3] 

⇒ f'(x) è decrescente in (0, 3] 

● f(x) è convessa in [3, 8] 

⇒ f'(x) è crescente in [3, 8]

● Γ consiste in una semiretta passante per F e G in [8, +∞);

poiché conosciamo le coordinate di questi due punti

possiamo calcolarci l’equazione di tale retta e dunque

●

f(x) = 2x − 16 in [8, +∞) 

⇒ f'(x) = 2 in [8, +∞)

● C è un punto di flesso di f(x) e dunque dalle precedenti

informazioni abbiamo che C è punto di minimo di f’(x).

Possiamo inoltre calcolarci il valore di tale minimo dal

coefficiente angolare della retta tangente in C: la retta ha

equazione 2x + y – 8 = 0 e dunque f '(3) = −2 

● La retta tangente a D ha equazione x  + 2y  – 5 = 0

⇒f'(5) = 

Per quanto riguarda F(x) possiamo ricavare le seguenti in-

formazioni

● F(0) = 0

● f(x) ≥ 0 in [0, 5] e [8, +∞) 

⇒ F(x) è crescente in [0, 5]

e [8, +∞) 

● f(x) ≤ 0 in [5, 8] 

⇒ F(x) è decrescente [5, 8] 

● Dalle due precedenti informazioni abbiamo che 5 e 8

sono rispettivamente punti di massimo e minimo relativi.

Ricaviamo il valore del massimo e del minimo dalle in-

formazioni sulle aree riportate nel testo. In particolare,

l’area della regione delimitata dall’arco ABCD, dall’asse

●

x e dall’asse y vale 11, dunque                                          .

●

L’area della regione delimitata dall’arco DEF e dall’asse

x vale 1 e poiché la funzione f(x) è negativa nell’intervallo

●

[5, 8] abbiamo che                         . 

20

1

6

5

1

1

6

=

50

3

1

6

5

1

2

11

=

 

0

5

f t

( )

dt

=

F 5

( )

5

8

f t

( )

dt

=

1

1

6

5

1

6

5

Nella Figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua 

f: [0, + ∞) → 

ޒ, derivabile in ]0, + ∞), e sono indicate le coordinate

di alcuni suoi punti. 

È noto che Γ è tangente all’asse y in A, che B ed E sono un punto di

massimo e uno di minimo, che C è un punto di flesso con tangente

di equazione 2x + y − 8 = 0. 

Nel punto D la retta tangente ha equazione x + 2y − 5 = 0 e per x ≥ 8

il grafico consiste in una semiretta passante per il punto G. Si sa inol-

tre che l’area della regione delimitata dall’arco ABCD, dall’asse x e

dall’asse y vale 11, mentre l’area della regione delimitata dall’arco

DEF e dall’asse x vale 1.

1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente

i grafici delle funzioni

y = f '(x)

Quali sono i valori di f '(3) e f '(5)? Motiva la tua risposta. 

Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: 

y = |f '(x)|

y = |f (x)|'                  

specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse. 

2. Determina i valori medi di y = f(x) e di y = |f(x)| nell’intervallo [0,8],

il valore medio di y = f '(x) nell’intervallo [1,7] e il valore medio di y

= F(x) nell’intervallo [9,10].

3. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione F(x)

nei suoi punti di ascisse 0 e 8, motivando le risposte.

TRACCIA MINISTERIALE - 

Problema 2

F (x)

=

o

x

f t

( )

dt  

y

=

1

f (x)

Figura 1.

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